この問題は、ベクトルの内積、直交条件、平行条件、順列と組み合わせの計算、そして確率の問題です。具体的には以下の内容を扱います。 (1) 2つのベクトル$\vec{p}=(2,-1)$と$\vec{q}=(1,-3)$の内積$\vec{p} \cdot \vec{q}$と、なす角$\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$)を求める。 (2) $\vec{p}=(2,-1)$と$\vec{r}=(t,5)$が直交するような定数$t$の値を求める。 (3) $\vec{q}=(1,-3)$と$\vec{r}=(t,5)$が平行になるような定数$t$の値を求める。 (4) 順列と組み合わせの値を計算する: (1) $_6P_3$, (2) $_8C_3$, (3) $_9C_7$。 (5) 1から100までの自然数から1つを選ぶとき、以下の確率を求める。 (i) 12で割り切れる確率 (ii) 3または4で割り切れる確率

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解答します。

1. 問題の内容

この問題は、ベクトルの内積、直交条件、平行条件、順列と組み合わせの計算、そして確率の問題です。具体的には以下の内容を扱います。

(1) 2つのベクトル$\vec{p}=(2,-1)$と$\vec{q}=(1,-3)$の内積$\vec{p} \cdot \vec{q}$と、なす角$\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$)を求める。

(2) $\vec{p}=(2,-1)$と$\vec{r}=(t,5)$が直交するような定数$t$の値を求める。

(3) $\vec{q}=(1,-3)$と$\vec{r}=(t,5)$が平行になるような定数$t$の値を求める。

(4) 順列と組み合わせの値を計算する: (1) $_6P_3$, (2) $_8C_3$, (3) $_9C_7$。

(5) 1から100までの自然数から1つを選ぶとき、以下の確率を求める。

(i) 12で割り切れる確率

(ii) 3または4で割り切れる確率

2. 解き方の手順

(1) ベクトルの内積と角度

内積の公式：$\vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{p}| |\vec{q}| \cos \theta$。また、$\vec{p} \cdot \vec{q} = p_x q_x + p_y q_y$。

* $\vec{p} \cdot \vec{q} = (2)(1) + (-1)(-3) = 2 + 3 = 5$

* $|\vec{p}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$

* $|\vec{q}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$

* $\cos \theta = \frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{|\vec{p}| |\vec{q}|} = \frac{5}{\sqrt{5} \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

* $\theta = \frac{\pi}{4}$

(2) ベクトルの直交条件

2つのベクトルが直交するとき、内積は0になる。すなわち、$\vec{p} \cdot \vec{r} = 0$。

* $\vec{p} \cdot \vec{r} = (2)(t) + (-1)(5) = 2t - 5 = 0$

* $2t = 5$

* $t = \frac{5}{2}$

(3) ベクトルの平行条件

2つのベクトルが平行なとき、一方のベクトルはもう一方のベクトルのスカラー倍で表せる。すなわち、$\vec{r} = k \vec{q}$ ($k$はスカラー)。

* $(t, 5) = k(1, -3)$

* $t = k$

* $5 = -3k$

* $k = -\frac{5}{3}$

* $t = -\frac{5}{3}$

(4) 順列と組み合わせ

* $_6P_3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120$

* $_8C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

* $_9C_7 = \frac{9!}{7!(9-7)!} = \frac{9!}{7!2!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

(5) 確率

(i) 12で割り切れる確率

1から100までの自然数の中で12で割り切れる数は、12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96の8個。

確率は$\frac{8}{100} = \frac{2}{25}$。

(ii) 3または4で割り切れる確率

3で割り切れる数は33個 (100 // 3 = 33)。

4で割り切れる数は25個 (100 // 4 = 25)。

3と4の両方で割り切れる数（つまり12で割り切れる数）は8個。

3または4で割り切れる数の個数は、33 + 25 - 8 = 50個。

確率は$\frac{50}{100} = \frac{1}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{p} \cdot \vec{q} = 5$, $\theta = \frac{\pi}{4}$

(2) $t = \frac{5}{2}$

(3) $t = -\frac{5}{3}$

(4) (1) $_6P_3 = 120$, (2) $_8C_3 = 56$, (3) $_9C_7 = 36$

(5) (i) $\frac{2}{25}$, (ii) $\frac{1}{2}$