赤玉が4個、白玉が3個、青玉が1個ある。この中から4個を取り出して作る組み合わせと順列の総数を求めよ。

1. 問題の内容

赤玉が4個、白玉が3個、青玉が1個ある。この中から4個を取り出して作る組み合わせと順列の総数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、取り出す4個の玉の色の組み合わせを考えます。

(1) 赤、白、青の全てが含まれる場合

赤、白、青の個数をそれぞれ $r, w, b$ とすると、$r+w+b=4$　ただし、$1 \le r \le 4$, $1 \le w \le 3$, $b=1$.

可能な組み合わせは、(2,1,1),(1,2,1),(3,0,1),(0,3,1)です。しかし、白玉は3個しかないため、$0 \le w \le 3$, 赤玉は4個しかないので、$0 \le r \le 4$を満たす必要があります。よって考えられる組み合わせは、 (2,1,1), (1,2,1), (3,0,1)です。しかし白は最低１つは存在するので、(3,0,1)はありえません。

したがって、(2,1,1),(1,2,1)のみが考えられます。

(2) 2色の場合

これは、赤と白のみ、赤と青のみ、白と青のみの場合が考えられます。

*赤と白のみの場合：

$r+w=4$ ただし、$1 \le r \le 4$, $1 \le w \le 3$。

したがって、(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)が考えられます。

*赤と青のみの場合：

$r+b=4$　ただし、$1 \le r \le 4$, $b=1$なので、$r=3$となります。$r+b=4$なので、$3+1=4$となります。

したがって、(3,1)が考えられます。

*白と青のみの場合：

$w+b=4$　ただし、$1 \le w \le 3$, $b=1$なので、$w=3$となります。したがって、$w+b=4$なので、$3+1=4$となります。

したがって、(3,1)が考えられます。

(3) 1色の場合

4個全てが赤である必要があります。この場合、(4,0,0)となります。

次に、これらの組み合わせに対する順列の数を計算します。

(1) (2,1,1)の場合、赤2個、白1個、青1個の順列は $\frac{4!}{2!1!1!} = \frac{24}{2} = 12$通り

(1) (1,2,1)の場合、赤1個、白2個、青1個の順列は $\frac{4!}{1!2!1!} = \frac{24}{2} = 12$通り

(2) (1,3,0)の場合、赤1個、白3個の順列は $\frac{4!}{1!3!} = \frac{24}{6} = 4$通り

(2) (2,2,0)の場合、赤2個、白2個の順列は $\frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6$通り

(2) (3,1,0)の場合、赤3個、白1個の順列は $\frac{4!}{3!1!} = \frac{24}{6} = 4$通り

(2) (3,0,1)の場合、赤3個、青1個の順列は $\frac{4!}{3!1!} = \frac{24}{6} = 4$通り

(2) (0,3,1)の場合、白3個、青1個の順列は $\frac{4!}{3!1!} = \frac{24}{6} = 4$通り

(3) (4,0,0)の場合、赤4個の順列は $\frac{4!}{4!} = 1$通り

合計の順列の数は、12 + 12 + 4 + 6 + 4 + 4 + 4 + 1 = 47通り

3. 最終的な答え

組み合わせと順列の総数は47通り。