カードを白3枚、黒2枚の順に並べる。1枚目から11枚目までのカードについて、白のカードの枚数と黒のカードの枚数の差は3枚である。1枚目からn枚目までのカードについて、白のカードの枚数と黒のカードの枚数の差が12枚となるとき、nの値を全て求める。

1. 問題の内容

カードを白3枚、黒2枚の順に並べる。1枚目から11枚目までのカードについて、白のカードの枚数と黒のカードの枚数の差は3枚である。1枚目からn枚目までのカードについて、白のカードの枚数と黒のカードの枚数の差が12枚となるとき、nの値を全て求める。

2. 解き方の手順

まず、カードの並び方の周期を確認する。白3枚、黒2枚で1つの周期なので、1周期は5枚である。

n枚の中に何周期含まれるかを計算する。

$n = 5q + r$ （ただし、$0 \le r < 5$）

ここで、$q$は周期の数、$r$は余りの枚数を示す。

1周期における白のカードの枚数と黒のカードの枚数の差は $3 - 2 = 1$ 枚である。

$q$周期における白のカードの枚数と黒のカードの枚数の差は $1 \times q = q$ 枚である。

余りの$r$枚における白と黒の枚数を考える。

$r$ が 0, 1, 2, 3, 4 の場合に分けて考える。

- $r = 0$ のとき：白と黒の枚数の差は 0枚

- $r = 1$ のとき：白と黒の枚数の差は 1枚

- $r = 2$ のとき：白と黒の枚数の差は 2枚

- $r = 3$ のとき：白と黒の枚数の差は 3枚

- $r = 4$ のとき：白と黒の枚数の差は 3 - 2 = 1枚

全体の白と黒の枚数の差が12枚となる条件は、 $q$周期分の差と余りの$r$枚分の差を足して12になることである。

$q + (r枚分の差) = 12$

各$r$について$q$を計算し、$n=5q+r$を求める。

- $r = 0$ のとき：$q + 0 = 12$ より $q = 12$。 $n = 5(12) + 0 = 60$

- $r = 1$ のとき：$q + 1 = 12$ より $q = 11$。 $n = 5(11) + 1 = 56$

- $r = 2$ のとき：$q + 2 = 12$ より $q = 10$。 $n = 5(10) + 2 = 52$

- $r = 3$ のとき：$q + 3 = 12$ より $q = 9$。 $n = 5(9) + ＋3= 48$

- $r = 4$ のとき：$q + 1 = 12$ より $q = 11$。 $n = 5(11) + 4 = 59$

3. 最終的な答え

n = 48, 52, 56, 59, 60