あるクラスにa, b, c, dの4人のリレー選手がいる。 (1) 4人の走る順序の決め方は全部で何通りあるか求めよ。 (2) 走る順序をくじ引きで決めるとき、aの次にdが走ることになる確率を求めよ。

1. 問題の内容

あるクラスにa, b, c, dの4人のリレー選手がいる。

(1) 4人の走る順序の決め方は全部で何通りあるか求めよ。

(2) 走る順序をくじ引きで決めるとき、aの次にdが走ることになる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 4人の走る順序の決め方の総数を求める。

4人を並べる順列なので、$4!$ を計算する。

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1$

(2) aの次にdが走る場合の数を考える。

aとdをセット（ad）にして、残りのb, cと並べる場合の数を考える。

(ad), b, c の3つのものを並べる順列なので、$3!$

さらに、aとdのペアをセットにした場合と、aとdが必ず隣り合うとは限らない場合も考えられるが、くじ引きで順番を決めるので、aよりdが後に走る確率は1/2である。

4人の並び方は全部で$4!=24$通りある。aとdの順番だけを考えれば、aがdより前に走るか、後に走るかの2通りしかない。したがって、aの次にdが走る確率は、$1/2$である。

または、aの次にdが走る順列の総数を数え上げて全体の順列で割るという方法でも計算できる。

a, dの順番を固定すると、残り2人(b, c)の順番は2通りある。a,dの場所の選び方は何通りあるか数える。

-ad○○ : 2通り

-a○○d: 2通り

-a○d○ : ない

-○○ad: 2通り

-○a○d : 2通り

-○ad○ : 2通り

-○a○○d: ない

-○○a○d : ない

-○○ad○○ : 2通り

全部で6通り。

組み合わせを間違えていました。aの直後にdが走る場合。adを一つの組として、残りのb,cと並び方を考える。

(ad), b, c の3つ並び方は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

確率 = (aの次にdが走る場合の数) / (4人の走る順序の総数) = $6/24 = 1/4$。

4人の並び順は全部で24通りあり、a, dの順番だけをみれば、a, d, xx, adxx, xadx, xxadの6通りで全体で6/24 = 1/4となる。

しかし、くじ引きで決めるということは、どの順番も同じ確率で起こりうるということなので、単純にaとdの順番を考えれば良い。

aよりdが先に走る確率と、dよりaが先に走る確率は等しいので、aよりdが後に走る確率は$1/2$である。

aとdの場所が隣り合う確率は$3!/4! = 1/4$。

3. 最終的な答え

(1) 24通り

(2) 1/6