大小中3つのサイコロを投げ、出た目をそれぞれ $a, b, c$ とします。このとき、$a \le b \le c$ となる場合の数を求める問題です。

1. 問題の内容

大小中3つのサイコロを投げ、出た目をそれぞれ $a, b, c$ とします。このとき、$a \le b \le c$ となる場合の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、重複組合せの問題として考えることができます。$a, b, c$ は1から6の整数であり、順番に $a \le b \le c$ となるように選ぶ必要があります。

$x_i$ を以下のように定義します。

$x_1 = a - 1$

$x_2 = b - a$

$x_3 = c - b$

$x_4 = 6 - c$

すると、$x_1, x_2, x_3, x_4$ はすべて非負の整数となります。

これらの変数の合計は以下のようになります。

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = (a-1) + (b-a) + (c-b) + (6-c) = 6 - 1 = 5$

したがって、非負の整数 $x_1, x_2, x_3, x_4$ で、

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 5$

を満たす組み合わせの数を求めることになります。

これは、5個の同じものを4つの異なる箱に入れる場合の数と同じで、重複組合せで計算できます。

重複組合せの公式は、

${}_{n}H_{r} = {}_{n+r-1}C_{r} = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}$

です。

この問題では、n=4, r=5 なので、

${}_{4}H_{5} = {}_{4+5-1}C_{5} = {}_{8}C_{5} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 / 1 = 56$

3. 最終的な答え

56通り