与えられた3次方程式 $r^3 - 7r^2 + 6 = 0$ の解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $r^3 - 7r^2 + 6 = 0$ の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、整数解を探します。定数項6の約数（±1, ±2, ±3, ±6）を $r$ に代入して方程式を満たすかどうかを確認します。

$r=1$ を代入すると、$1^3 - 7(1^2) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0$ となり、方程式を満たすので、$r=1$ は解の一つです。

$r=1$ が解であることから、$r-1$ は $r^3 - 7r^2 + 6$ の因数です。多項式の割り算または組立除法を使って、$r^3 - 7r^2 + 6$ を $r-1$ で割ります。

多項式の割り算を実行すると、

$(r^3 - 7r^2 + 6) \div (r - 1) = r^2 - 6r - 6$ となります。

したがって、$r^3 - 7r^2 + 6 = (r - 1)(r^2 - 6r - 6) = 0$ と因数分解できます。

次に、2次方程式 $r^2 - 6r - 6 = 0$ の解を求めます。解の公式を使用します。

$r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1$, $b = -6$, $c = -6$ なので、

$r = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)}$

$r = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2}$

$r = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2}$

$r = \frac{6 \pm 2\sqrt{15}}{2}$

$r = 3 \pm \sqrt{15}$

したがって、$r^2 - 6r - 6 = 0$ の解は $r = 3 + \sqrt{15}$ と $r = 3 - \sqrt{15}$ です。

3. 最終的な答え

与えられた3次方程式 $r^3 - 7r^2 + 6 = 0$ の解は、

$r = 1, 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$ です。