定数 $k$ を用いて表される放物線 $y = x^2 + (k-6)x - 2k + 17$ について、以下の2つの問題に答えます。 (5) $k=12$ のとき、放物線と $x$ 軸の共有点の座標を求めます。 (6) 放物線と $x$ 軸が異なる2つの共有点を持つとき、$k$ の取り得る値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

定数 $k$ を用いて表される放物線 $y = x^2 + (k-6)x - 2k + 17$ について、以下の2つの問題に答えます。

(5) $k=12$ のとき、放物線と $x$ 軸の共有点の座標を求めます。

(6) 放物線と $x$ 軸が異なる2つの共有点を持つとき、$k$ の取り得る値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(5)

$k=12$ を放物線の式に代入します。

$y = x^2 + (12-6)x - 2(12) + 17$

$y = x^2 + 6x - 24 + 17$

$y = x^2 + 6x - 7$

放物線と $x$ 軸の共有点は $y=0$ となる点なので、$x^2 + 6x - 7 = 0$ を解きます。

$(x+7)(x-1) = 0$

よって $x = -7, 1$

共有点の座標は $(-7, 0)$ と $(1, 0)$ です。

(6)

放物線と $x$ 軸が異なる2つの共有点を持つ条件は、判別式 $D > 0$ です。

$D = (k-6)^2 - 4(1)(-2k+17) > 0$

$k^2 - 12k + 36 + 8k - 68 > 0$

$k^2 - 4k - 32 > 0$

$(k-8)(k+4) > 0$

よって、$k < -4$ または $k > 8$

3. 最終的な答え

(5) $(-7, 0), (1, 0)$

(6) $k < -4$ または $k > 8$