数列 $5, 6, 8, 12, 20, \dots$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $5, 6, 8, 12, 20, \dots$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

与えられた数列を $\{a_n\}$ とする。

$\{a_n\} = 5, 6, 8, 12, 20, \dots$

階差数列 $\{b_n\}$ を考えると、

$b_n = a_{n+1} - a_n$ より、

$\{b_n\} = 1, 2, 4, 8, \dots$

$\{b_n\}$ は初項1、公比2の等比数列であるから、

$b_n = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$

したがって、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}$

$a_1 = 5$ であるから、

$a_n = 5 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 5 + \sum_{k=0}^{n-2} 2^k = 5 + \frac{1(2^{n-1}-1)}{2-1} = 5 + 2^{n-1} - 1 = 2^{n-1} + 4$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2^{1-1} + 4 = 2^0 + 4 = 1 + 4 = 5$ となり、成り立つ。

したがって、一般項は $a_n = 2^{n-1} + 4$ である。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^{n-1} + 4$