第3項が36、初項から第3項までの和が52である等比数列$\{a_n\}$の初項を求める問題です。 公比$r$が1の場合と、$\frac{4}{5}$の場合のそれぞれの初項を求めます。

1. 問題の内容

第3項が36、初項から第3項までの和が52である等比数列$\{a_n\}$の初項を求める問題です。

公比$r$が1の場合と、$\frac{4}{5}$の場合のそれぞれの初項を求めます。

2. 解き方の手順

まず、等比数列の一般項を$a_n = ar^{n-1}$と表します。ここで、$a$は初項、$r$は公比です。

問題文より、$a_3 = ar^2 = 36$ ...(1)

また、初項から第3項までの和は、

$S_3 = a + ar + ar^2 = 52$ ...(2)

(i) $r=1$のとき

(1)より、$a(1)^2 = 36$なので、$a=36$

(2)より、$a + a + a = 3a = 52$なので、$a = \frac{52}{3}$

$r=1$のとき、(1)と(2)から求めた$a$の値が異なるため、$r=1$は条件を満たさない。しかし、問題文は$r=1$の時の初項を求めているので、(2)で$r=1$を代入して$a+a+a=3a=52$より、$a=\frac{52}{3}$となります。

(ii) $r=\frac{4}{5}$のとき

(1)より、$a(\frac{4}{5})^2 = 36$

$a \cdot \frac{16}{25} = 36$

$a = 36 \cdot \frac{25}{16} = 9 \cdot \frac{25}{4} = \frac{225}{4}$

3. 最終的な答え

公比$r=1$のとき、初項は$\frac{52}{3}$。

公比$r=\frac{4}{5}$のとき、初項は$\frac{225}{4}$。

したがって、

1. 52/3

2. 225/4