赤玉3個、白玉4個が入った袋から3個の玉を同時に取り出す。取り出した玉が1色のみの場合、得点は$k$点、2色の場合、得点は1点である。 (ア) 赤玉1個と白玉2個が取り出される確率を求める。 (イ) 赤玉2個と白玉1個が取り出される確率を求める。 (ウ) 得点が1点であったとき、赤玉1個と白玉2個が取り出される条件付き確率を求める。 (エ) ゲームの得点の期待値が2となる$k$の値を求める。

1. 問題の内容

赤玉3個、白玉4個が入った袋から3個の玉を同時に取り出す。取り出した玉が1色のみの場合、得点は$k$点、2色の場合、得点は1点である。

(ア) 赤玉1個と白玉2個が取り出される確率を求める。

(イ) 赤玉2個と白玉1個が取り出される確率を求める。

(ウ) 得点が1点であったとき、赤玉1個と白玉2個が取り出される条件付き確率を求める。

(エ) ゲームの得点の期待値が2となる$k$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、3個の玉を取り出す場合の総数を求める。これは、7個から3個を選ぶ組み合わせであるから、

$_{7}C_{3} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り。

(ア) 赤玉1個と白玉2個を取り出す場合の数は、赤玉3個から1個を選び、白玉4個から2個を選ぶ組み合わせである。

$_{3}C_{1} \times _{4}C_{2} = 3 \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 3 \times 6 = 18$通り。

よって、確率は $\frac{18}{35}$。

(イ) 赤玉2個と白玉1個を取り出す場合の数は、赤玉3個から2個を選び、白玉4個から1個を選ぶ組み合わせである。

$_{3}C_{2} \times _{4}C_{1} = 3 \times 4 = 12$通り。

よって、確率は $\frac{12}{35}$。

(ウ) 得点が1点となるのは、赤玉1個と白玉2個を取り出す場合、または赤玉2個と白玉1個を取り出す場合である。

これらの確率はそれぞれ$\frac{18}{35}$、$\frac{12}{35}$であり、排反事象である。

よって、得点が1点である確率は$\frac{18}{35} + \frac{12}{35} = \frac{30}{35} = \frac{6}{7}$。

条件付き確率は、

$P(\text{赤1白2}|\text{得点1}) = \frac{P(\text{赤1白2} \cap \text{得点1})}{P(\text{得点1})} = \frac{P(\text{赤1白2})}{P(\text{得点1})} = \frac{\frac{18}{35}}{\frac{30}{35}} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$。

(エ) 得点が$k$点となるのは、3個とも赤玉の場合か、3個とも白玉の場合である。

3個とも赤玉の場合の数は、$_{3}C_{3} = 1$通り。確率は$\frac{1}{35}$。

3個とも白玉の場合の数は、$_{4}C_{3} = 4$通り。確率は$\frac{4}{35}$。

得点の期待値は $E = k \times (\frac{1}{35} + \frac{4}{35}) + 1 \times (\frac{18}{35} + \frac{12}{35}) = k \times \frac{5}{35} + \frac{30}{35}$。

$E = 2$となる$k$を求める。

$\frac{5k}{35} + \frac{30}{35} = 2$

$\frac{5k + 30}{35} = 2$

$5k + 30 = 70$

$5k = 40$

$k = 8$。

3. 最終的な答え

ア: $\frac{18}{35}$

イ: $\frac{12}{35}$

ウ: $\frac{3}{5}$

エ: $8$