問題は、四角形ABDCについて、角度の関係、対角線の長さ、余弦定理の適用、円に内接する四角形の性質などを調べるものです。具体的には、以下の内容が含まれます。 (1) $\angle ACB$ と $\angle BCD$ の関係を調べる。 (2) 四角形ABDCにおいて、$\angle ABD + \angle DCA$ を求め、対角線ADの長さを求め、$\cos \angle DCA$ を求める。 (3) 円に内接する四角形PQRSにおいて、対角線の長さを求める公式を導く。

1. 問題の内容

問題は、四角形ABDCについて、角度の関係、対角線の長さ、余弦定理の適用、円に内接する四角形の性質などを調べるものです。具体的には、以下の内容が含まれます。

(1) $\angle ACB$ と $\angle BCD$ の関係を調べる。

(2) 四角形ABDCにおいて、$\angle ABD + \angle DCA$ を求め、対角線ADの長さを求め、$\cos \angle DCA$ を求める。

(3) 円に内接する四角形PQRSにおいて、対角線の長さを求める公式を導く。

2. 解き方の手順

(1) $\angle ACB$ と $\angle BCD$ について：

$\triangle ABC$ と $\triangle BDC$ において、$AB=BD=2$, $BC=BC=4$, $CA=CD=3$ であるから、三辺相等(SSS)より $\triangle ABC \equiv \triangle BDC$ である。したがって、$\angle ACB = \angle BCD$。

$\cos \angle ACB = \frac{3^2 + 4^2 - 2^2}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{9 + 16 - 4}{24} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$

$\cos \angle BCD = \frac{4^2 + 3^2 - 2^2}{2 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{16+9-4}{24} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$

よって、$\cos \angle ACB = \cos \angle BCD$ であり、$\angle ACB = \angle BCD$ である。

$\triangle ABC$ を辺BCについて折り返すと、頂点Aは辺CD上にあり、その点をEとする。$\triangle BDE$は二等辺三角形であることと、折り返した図形を考えると、$\angle BAC > \angle BDC$ であり、$\angle BAC + \angle BDC = 180^\circ$ である。

(2) 四角形ABDCにおいて、内角の和を考えると $\angle ABD + \angle DCA = 180^\circ$ である。

$AD=x, \cos \angle ABD = y$ とおくと、$\cos \angle DCA = \cos(180^\circ - \angle ABD) = - \cos \angle ABD = -y$ である。

$\triangle ABD$において、余弦定理により $x^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot y = 8 - 8y$ が成り立つ。

$\triangle ADC$ においても同様に考えて、$x^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot (-y) = 25 + 24y$ が成り立つ。

$8-8y = 25+24y$ より、$32y = -17$, $y = -\frac{17}{32}$

$x^2 = 8 - 8(-\frac{17}{32}) = 8 + \frac{17}{4} = \frac{32+17}{4} = \frac{49}{4}$

$x = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2}$

(3) 四角形ABDCは、円に内接している。

円に内接する四角形 PQRSにおいて、辺の長さ PQ=a, QR=b, RS=c, SP=d, 対角線の長さ PR=p, QS=qの関係について調べよう。

$\angle PQR = 180^\circ - \angle RSP$ であることを用いると、$\triangle PQR$と$\triangle RSP$のそれぞれに余弦定理を適用する。

$p^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \angle PQR$

$p^2 = c^2 + d^2 - 2cd\cos \angle RSP$

$\angle PQR = 180^\circ - \angle RSP$ より、$\cos \angle PQR = - \cos \angle RSP$

$p^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos \angle RSP$

$p^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(180^\circ - \angle RSP)$

$p^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\angle RSP)$

$\cos(\angle RSP) = \frac{p^2 - a^2 - b^2}{2ab} = \frac{c^2+d^2 - p^2}{2cd}$

$2cd (p^2 - a^2 - b^2) = 2ab (c^2 + d^2 - p^2)$

$cdp^2 - cda^2 - cdb^2 = abc^2 + abd^2 - abp^2$

$p^2 (cd + ab) = cda^2 + cdb^2 + abc^2 + abd^2 = (ac+bd)(ad+bc)$

$p^2 = \frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}$

3. 最終的な答え

ア: $\frac{7}{8}$

イ: 合同

ウエオ: 180

カキク: 180

ケ: -y

コ: 8

サ: 8

シ: $\frac{7}{2}$

ス: $\frac{2}{7}$

セソ: -17

タチ: 32

ツ: $\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}$