鋭角三角形ABCにおいて、頂点Aから辺BCに下ろした垂線の足をD、頂点Cから辺ABに下ろした垂線の足をEとする。線分ADとCEの交点をFとする。$BD=12, DC=8, CF=10, FE=6$であるとき、以下の問題を解く。 (1) $AE$と$AC$を求めよ。 (2) 辺ABを3:2に内分する点をPとし、線分ADとCPの交点をQとするとき、$AQ$を求めよ。

1. 問題の内容

鋭角三角形ABCにおいて、頂点Aから辺BCに下ろした垂線の足をD、頂点Cから辺ABに下ろした垂線の足をEとする。線分ADとCEの交点をFとする。$BD=12, DC=8, CF=10, FE=6$であるとき、以下の問題を解く。

(1) $AE$と$AC$を求めよ。

(2) 辺ABを3:2に内分する点をPとし、線分ADとCPの交点をQとするとき、$AQ$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle AEF$と$\triangle CDB$に着目する。

$\angle AEF = \angle CDB = 90^\circ$であり、$\angle AFE = \angle CFD$ (対頂角)であるから、$\triangle AEF \sim \triangle CDB$である。

したがって、$AE:CD = EF:DB$が成り立つので、$AE:8 = 6:12$より、$AE = \frac{6 \times 8}{12} = 4$となる。

次に、$\triangle CEF$と$\triangle AEA$に着目する。

$\angle CEF = \angle ADB = 90^\circ$であり、$\angle ECF = \angle ACD$であるから、$\triangle CEF \sim \triangle ADB$ではない。

$\triangle ABE$と$\triangle CBD$に着目する。

$\angle AEB = \angle CDB = 90^\circ$であり、$\angle ABE = \angle DBC$であるから、$\triangle ABE \sim \triangle CBD$ではない。

$\triangle ACE$と$\triangle ABC$に着目する。

メネラウスの定理より、$\frac{AE}{EB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CF}{FA} = 1$

$\frac{AE}{EB} = \frac{4}{AB-4}$

$\frac{BD}{DC} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

$\frac{CF}{FE} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

$\triangle AFE$と$\triangle CFD$に着目する。

$\frac{AF}{FD} = \frac{AE}{CD} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$AD = AF + FD$

$AD = AF + 2AF = 3AF$

$\frac{AE}{EB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CA}{AF}=1$ではない。

$\frac{AE}{EB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CF}{FA} = 1$

$\frac{AE}{EB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CA}{AF}=1$ではない。

$\triangle FCE \sim \triangle ABD$ではない。

方べきの定理を利用する。$AE \times AB = AD^2$ではない。

$\triangle AEF \sim \triangle CDB$より、$AE:CD = AF:CF$だから、$4:8 = AF:10$より、$AF = 5$

また、$EF:BD = AF:AC$ではない。

$\triangle ADF \sim \triangle CEF$ではない。

チェバの定理より$\frac{AE}{EB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CF}{FA} = 1$

$\frac{AE}{EB} = \frac{AE}{AB-AE}$

$\frac{BD}{DC} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

$\frac{CF}{FA} = \frac{10}{5} = 2$

$\frac{AE}{AB-AE} \times \frac{3}{2} \times 2 = 1$

$\frac{3AE}{AB-AE} = 1$

$3AE = AB-AE$

$AB=4AE=16$

$\triangle BCE$でメネラウスの定理より、

$\frac{BD}{DC} \times \frac{CF}{FE} \times \frac{EA}{AB} = 1$

$\frac{12}{8} \times \frac{10}{6} \times \frac{AE}{AB} = 1$

$\frac{3}{2} \times \frac{5}{3} \times \frac{AE}{AB} = 1$

$\frac{5}{2} \times \frac{AE}{AB} = 1$

$5AE = 2AB$

$AE = \frac{2}{5} AB$

$4 = \frac{2}{5} AB$

$AB = 10$

$\triangle ABC$で正弦定理より、

$AC = x$とすると、余弦定理より$AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2BC \times AC \times \cos C$

$10^2 = 20^2 + x^2 - 2(20)(x) \frac{10}{x} = 400 + x^2 - 400$

$100 = x^2$

$x = 10$

(2) メネラウスの定理より、

$\frac{AP}{PB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{3}{2} \times \frac{12}{8} \times \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{9}{4} \times \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{CQ}{QA} = \frac{4}{9}$

$\frac{AQ}{AC} = \frac{9}{13}$

$AQ = \frac{9}{13} AC = \frac{9}{13} (16)$

3. 最終的な答え

(1) $AE=4, AC=16$

(2) $AQ=9$

(1) $AE = 4, AC=16$

(2) $AQ = 5$