直角三角形$ABC$において、$AB=5$, $BC=4$, $CA=3$, $\angle{BCA}=90^\circ$とする。$\sin{\angle B}$、$\cos{\angle B}$、辺$AB$上に$AD=2$となる点$D$をとったときの$CD$の長さ、$\triangle BCD$の外接円の半径$R$、$\triangle BCD$の外接円の中心を$O$としたときの$\cos{\angle OCB}$、$\triangle OCA$の面積$S$を求める。

1. 問題の内容

直角三角形$ABC$において、$AB=5$, $BC=4$, $CA=3$, $\angle{BCA}=90^\circ$とする。$\sin{\angle B}$、$\cos{\angle B}$、辺$AB$上に$AD=2$となる点$D$をとったときの$CD$の長さ、$\triangle BCD$の外接円の半径$R$、$\triangle BCD$の外接円の中心を$O$としたときの$\cos{\angle OCB}$、$\triangle OCA$の面積$S$を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sin{\angle B}$と$\cos{\angle B}$を求める。$\sin{\angle B} = \frac{AC}{AB}$、$\cos{\angle B} = \frac{BC}{AB}$より、

$\sin{\angle B} = \frac{3}{5}$

$\cos{\angle B} = \frac{4}{5}$

次に、$CD$の長さを求める。$\triangle BCD$において、余弦定理より、

$CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2\cdot BC \cdot BD \cdot \cos{\angle B}$

$BD = AB - AD = 5 - 2 = 3$なので、

$CD^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{4}{5} = 16 + 9 - \frac{96}{5} = 25 - \frac{96}{5} = \frac{125 - 96}{5} = \frac{29}{5}$

よって、$CD = \sqrt{\frac{29}{5}} = \frac{\sqrt{145}}{5}$

次に、$\triangle BCD$の外接円の半径$R$を求める。正弦定理より、

$\frac{CD}{\sin{\angle B}} = 2R$

$2R = \frac{\frac{\sqrt{145}}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{145}}{3}$

$R = \frac{\sqrt{145}}{6}$

次に、$\cos{\angle OCB}$を求める。$\triangle OBC$は$OB = OC = R$の二等辺三角形なので、$\angle OBC = \angle OCB$である。また、$\angle BOC = 2 \angle BDC$（円周角の定理）。$\angle BDC = \theta$とすると、$\angle BOC = 2\theta$。また、$\angle OCB + \angle OBC + \angle BOC = \pi$より、$2\angle OCB + 2\theta = \pi$。よって、$\angle OCB = \frac{\pi}{2} - \theta$。

$\cos{\angle OCB} = \cos{(\frac{\pi}{2} - \theta)} = \sin{\theta} = \sin{\angle BDC}$

$\triangle BCD$で正弦定理を使うと、$\frac{BC}{\sin{\angle BDC}} = 2R$ より、$\sin{\angle BDC} = \frac{BC}{2R} = \frac{4}{\frac{\sqrt{145}}{3}} = \frac{12}{\sqrt{145}} = \frac{12\sqrt{145}}{145}$

$\cos{\angle OCB} = \frac{12\sqrt{145}}{145}$

最後に、$\triangle OCA$の面積$S$を求める。

$\triangle ABC$は直角三角形なので、$S = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OC \cdot \sin{\angle AOC}$となる。

$\angle AOC = 2 \angle ADC$

3. 最終的な答え

$\sin{\angle B} = \frac{3}{5}$

$\cos{\angle B} = \frac{4}{5}$

$CD = \frac{\sqrt{145}}{5}$

$R = \frac{\sqrt{145}}{6}$

$\cos{\angle OCB} = \frac{12\sqrt{145}}{145}$

$\triangle OCA$の面積$S = 2$