## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

与えられた式を展開または因数分解する問題です。具体的には、以下の通りです。

7. $(x+1)(x+2)(x+4)(x+5)$ を展開せよ。

8. 次の式を因数分解せよ。

1. $6x^2y - 15xy^2$

2. $(a-3b)x - (3b-a)y$

3. $25x^2 - 20xy + 4y^2$

4. $12a^2b^2 - 27$

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2. 解き方の手順

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7. $(x+1)(x+2)(x+4)(x+5)$ の展開**

1. 適切な組み合わせで掛け算を行う。$(x+1)(x+5)$と$(x+2)(x+4)$を先に計算すると、後の計算が楽になる。

2. $(x+1)(x+5) = x^2 + 6x + 5$

3. $(x+2)(x+4) = x^2 + 6x + 8$

4. ここで、$A = x^2 + 6x$ とおく。すると、式は $(A+5)(A+8)$ となる。

5. $(A+5)(A+8) = A^2 + 13A + 40$

6. $A = x^2 + 6x$ を代入する。

$A^2 + 13A + 40 = (x^2 + 6x)^2 + 13(x^2 + 6x) + 40$

7. 展開する。

$(x^2 + 6x)^2 = x^4 + 12x^3 + 36x^2$

$13(x^2 + 6x) = 13x^2 + 78x$

8. すべての項をまとめる。

$x^4 + 12x^3 + 36x^2 + 13x^2 + 78x + 40 = x^4 + 12x^3 + 49x^2 + 78x + 40$

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8. 因数分解**

**(1) $6x^2y - 15xy^2$**

1. 共通因数 $3xy$ でくくる。

$6x^2y - 15xy^2 = 3xy(2x - 5y)$

**(2) $(a-3b)x - (3b-a)y$**

1. $(3b-a) = -(a-3b)$ であることを利用する。

$(a-3b)x - (3b-a)y = (a-3b)x - (-(a-3b))y$

2. $(a-3b)$でくくる。

$(a-3b)x + (a-3b)y = (a-3b)(x+y)$

**(3) $25x^2 - 20xy + 4y^2$**

1. $(ax - by)^2 = a^2x^2 - 2abxy + b^2y^2$ の形になっているか確認する。

$25x^2 = (5x)^2$

$4y^2 = (2y)^2$

$2(5x)(2y) = 20xy$

2. したがって、$25x^2 - 20xy + 4y^2 = (5x - 2y)^2$

**(4) $12a^2b^2 - 27$**

1. 共通因数3でくくる。

$12a^2b^2 - 27 = 3(4a^2b^2 - 9)$

2. $4a^2b^2 = (2ab)^2$、 $9 = 3^2$ なので、差の二乗の因数分解 $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$ を利用する。

$3(4a^2b^2 - 9) = 3((2ab)^2 - 3^2) = 3(2ab + 3)(2ab - 3)$

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3. 最終的な答え

7. $x^4 + 12x^3 + 49x^2 + 78x + 40$

8.

1. $3xy(2x - 5y)$

2. $(a-3b)(x+y)$

3. $(5x - 2y)^2$

4. $3(2ab + 3)(2ab - 3)$