図において、AB//EF//CD、AB:CD = 3:4である。 (1) BE:BCを求めよ。 (2) CD=14のとき、EFの長さを求めよ。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いて、指定の形式で回答します。

1. 問題の内容

図において、AB//EF//CD、AB:CD = 3:4である。

(1) BE:BCを求めよ。

(2) CD=14のとき、EFの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) BE:BCを求める。

まず、$\triangle{ABE}$と$\triangle{CDE}$に着目する。

AB//CDより、$\triangle{ABE} \sim \triangle{CDE}$ である。

したがって、BE:DE = AB:CD = 3:4 である。

BC = BE + ED + DCではない。BD = BE + EDである。

BD = BE + DE = 3 + 4 = 7

したがって、BE:BD = 3:7

BC = BE + ECである。

$\triangle{EBF} \sim \triangle{DBC}$ である。

BE:BD = EF:CD = BF:BC = 3:7

EF:CD = 3:7 より CD = $\frac{7}{3}EF$

$\triangle{AEF} \sim \triangle{ABC}$ である。

EF:AB = EC:BC = AF:AC = 4:7

AB = $\frac{7}{4}EF$

AB:CD = 3:4 であるから、

$\frac{7}{4}EF : \frac{7}{3}EF = 3:4$ が成り立つ。

ここで、EFと関係なくBE:BCを求めることを考える。

$\triangle{ABE} \sim \triangle{CDE}$ より、AE:CE = BE:DE = AB:CD = 3:4である。

ここで、$\triangle{EBF} \sim \triangle{DBC}$ より、

BE:BC = BE:(BE+ED) * BD:BC = BE:(BE+DE) * BD:BC = BE:BD

したがって、BE:BD = BE:(BE+DE) = 3:7

なのでBD = BE+ED = 7とおける

BE = 3, ED= 4

$\triangle{EBF} \sim \triangle{DBC}$よりEF:CD = BE:BD = BF:BC = 3:7

$\triangle{AEF} \sim \triangle{ABC}$よりEF:AB = AE:AC = BF:BC = 4:7

$\triangle{EBF} \sim \triangle{DBC}$よりBF:BC = 3:7

BC = BE + EC なので　BE:BC を求めたい。

BE:DE = 3:4なのでBE=3k, DE=4kとおく。

BD = BE + DE = 7k

$\triangle{EBF} \sim \triangle{DBC}$より

BE:BD = EF:CD = 3:7 = EF:14

EF = 6

AB:CD = 3:4なので

AB = 3l, CD = 4l とおく。

4l = 14 なので l = 3.5

AB = 3 * 3.5 = 10.5

BE:BC = 3:7

BC = 7k

BE = 3k

(2) CD=14のとき、EFの長さを求める。

$\triangle{EBF} \sim \triangle{DBC}$ であるから、

EF:CD = BE:BD = 3:7

CD = 14 を代入すると、

EF:14 = 3:7

EF = $14 \times \frac{3}{7} = 6$

3. 最終的な答え

(1) BE:BC = 3:7

(2) EF = 6