三角形ABCがあり、$AB=4, BC=5, CA=3$である。頂点A, B, Cを中心とする3つの円が互いに外接している。 (1) Aを中心とする円の半径を求める。 (2) 三角形ABCの内心をN, 外心をOとする。三角形ABCの内接円の半径rと、NOの長さを求める。

## 回答

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、$AB=4, BC=5, CA=3$である。頂点A, B, Cを中心とする3つの円が互いに外接している。

(1) Aを中心とする円の半径を求める。

(2) 三角形ABCの内心をN, 外心をOとする。三角形ABCの内接円の半径rと、NOの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) A, B, Cを中心とする円の半径をそれぞれ$r_A, r_B, r_C$とする。円が互いに外接しているので、

$r_A + r_B = AB = 4$

$r_B + r_C = BC = 5$

$r_C + r_A = CA = 3$

これらの連立方程式を解く。

第一式と第三式を足し合わせると、$2r_A + r_B + r_C = 7$

これに第二式を代入すると、$2r_A + 5 = 7$ よって $2r_A = 2$

(2) まず、三角形ABCの内接円の半径rを求める。

三角形の面積Sは、ヘロンの公式より、$s = (4+5+3)/2 = 6$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{6(6-5)(6-4)(6-3)} = \sqrt{6 \times 1 \times 2 \times 3} = \sqrt{36} = 6$

内接円の半径rは、$S = rs$ より、$6 = 6r$ よって $r = 1$

次に、内心Nと外心Oの距離NOを求める。オイラーの定理より、$ON^2 = R(R-2r)$　ここで、Rは外接円の半径である。

$R = \frac{abc}{4S} = \frac{4 \times 5 \times 3}{4 \times 6} = \frac{60}{24} = \frac{5}{2}$

$ON^2 = \frac{5}{2}(\frac{5}{2} - 2 \times 1) = \frac{5}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$

したがって、$ON = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) Aを中心とする円の半径は $r_A = 1$

(2) 内接円の半径は $r = 1$, NOの長さは $NO = \frac{\sqrt{5}}{2}$