正方形の各頂点が、それぞれ独立に $1/3$ の確率で赤、黄、緑のいずれかの色で点灯します。各辺は、両端の頂点の色が一致していればその色で点灯し、そうでなければ青色に点灯します。以下の確率を求めます。 (1) 辺ABと辺CDがともに青になる確率 (2) 辺ABと辺CDが異なる色になる確率 (3) 4つの辺の色がすべて青になる確率

1. 問題の内容

正方形の各頂点が、それぞれ独立に $1/3$ の確率で赤、黄、緑のいずれかの色で点灯します。各辺は、両端の頂点の色が一致していればその色で点灯し、そうでなければ青色に点灯します。以下の確率を求めます。

(1) 辺ABと辺CDがともに青になる確率

(2) 辺ABと辺CDが異なる色になる確率

(3) 4つの辺の色がすべて青になる確率

2. 解き方の手順

(1) 辺ABと辺CDがともに青になる確率を求めます。

辺ABが青になる確率は、AとBの色が異なる確率です。AとBの色が同じである確率は $1/3$ (同じ色が3通りで、全9通り) なので、異なる確率は $1 - 1/3 = 2/3$ です。同様に、辺CDが青になる確率も $2/3$ です。

A, B, C, D の色は独立に決まるので、辺ABと辺CDがともに青になる確率は、それぞれの確率の積で求まります。

(2) 辺ABと辺CDが異なる色になる確率を求めます。

「異なる色」とは、ABが青でCDが青以外、ABが青以外でCDが青、ABが青以外でCDも青以外だがABとCDの色が違う、の3パターンを指します。ここでは余事象を考えます。ABとCDが異なる色になる事象の余事象は、ABとCDが同じ色になる事象です。つまり、「ABもCDも青の場合」、「ABもCDも青以外で同じ色の場合」の2つです。

(1)より、ABもCDも青になる確率は$(2/3)(2/3) = 4/9$です。

ABもCDも青以外で同じ色になる確率は、$(1/3) * (1/3) = 1/9$です。

したがって、ABとCDが同じ色になる確率は$4/9 + 1/9 = 5/9$です。

よって、ABとCDが異なる色になる確率は、$1 - 5/9 = 4/9$です。

(3) 4つの辺の色がすべて青になる確率を求めます。

4つの辺が全て青くなるためには、隣り合う頂点の色が全て異なれば良いです。

AB, BC, CD, DA の各辺が青になるためには、それぞれの辺の両端の頂点の色が異なる必要があります。

A,B,C,Dの色を順に決定していくことを考えます。

Aの色は3通りあります。Bの色はAと異なれば良いので2通りです。Cの色はBと異なれば良いので2通りです。Dの色はCともAとも異なれば良いので1通りです。従って、すべての組み合わせは $3*2*2*1 = 12$通りです。

全頂点の色は $3^4 = 81$ 通りなので、４辺がすべて青である確率は$12/81 = 4/27$です。

3. 最終的な答え

(1) 辺ABと辺CDがともに青になる確率：$4/9$

(2) 辺ABと辺CDが異なる色になる確率：$4/9$

(3) 4つの辺の色がすべて青になる確率：$4/27$