男子4人、女子4人の計8人を組分けする問題です。 (1) 男子4人を2人ずつの2つの組に分けるとき、A,Bの区別がある場合とない場合の数を求めます。 (2) 8人を、男子2人と女子2人の計4人ずつの組に分ける場合の数を求めます。区別がない2つの組に分けます。 (3) 8人を、男女関係なく2人ずつの4つの組に分ける場合の数を求めます。区別がない4つの組に分けます。

1. 問題の内容

男子4人、女子4人の計8人を組分けする問題です。

(1) 男子4人を2人ずつの2つの組に分けるとき、A,Bの区別がある場合とない場合の数を求めます。

(2) 8人を、男子2人と女子2人の計4人ずつの組に分ける場合の数を求めます。区別がない2つの組に分けます。

(3) 8人を、男女関係なく2人ずつの4つの組に分ける場合の数を求めます。区別がない4つの組に分けます。

2. 解き方の手順

(1) 男子4人を2人ずつの2つの組に分ける場合

* A,Bの区別がある場合：4人から2人を選び、残りの2人をもう一方の組に入れるので、${}_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

* A,Bの区別がない場合：A,Bの区別がある場合を2で割ると、$\frac{6}{2} = 3$通り。

(2) 8人を、男子2人と女子2人の計4人ずつの組に分ける場合

* まず、8人から4人を選ぶ方法は${}_8C_4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$通り。

* 次に、選んだ4人の中から男子2人を選ぶ方法は${}_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = 6$通り。女子2人を選ぶ方法は${}_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = 6$通り。

* よって、求める場合の数は$\frac{{}_8C_4 \times {}_4C_2 \times {}_4C_2}{2} = \frac{70 \times 6 \times 6}{2}= \frac{2520}{2} = 1260$。ただし、区別がない二つの組に分けるので、2で割る必要はありません。

* したがって、${}_8C_4 \times {}_4C_2 \times {}_4C_2 = 70 \times {}_4C_2 \times {}_4C_2$ で良い。ここでは、4人を選び、その4人の中に男子2人と女子2人が入っていることが前提。残りの4人の中から男子2人と女子2人を選ぶのは、自動的に決まる。

* すると、問題文の意図としては、まず8人から4人を選ぶ。そして残りの4人はもう片方のグループになるので、70通りで、区別がないので2で割る必要はない。

* しかし、問題文がわかりにくい。4人ずつの組ができる時点で、区別がない組に分けることは確定するので、2で割る必要はない。

(3) 8人を、男女関係なく2人ずつの4つの組に分ける場合

* まず8人から2人を選ぶ：${}_8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$

* 次に、残りの6人から2人を選ぶ：${}_6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$

* 次に、残りの4人から2人を選ぶ：${}_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$

* 最後に、残りの2人から2人を選ぶ：${}_2C_2 = 1$

* これらを掛け合わせると、$28 \times 15 \times 6 \times 1 = 2520$。

* しかし、4つの組には区別がないので、$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$で割る必要がある。$\frac{2520}{24} = 105$。

3. 最終的な答え

(1) チ：6通り、ツ：3通り

(2) テト：70通り

(3) ナニヌ：105通り