整数 $n$ に対して、「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」という命題を証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ に対して、「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」という命題を証明する。

2. 解き方の手順

この命題を直接証明するのは難しいので、対偶を証明する。元の命題の対偶は、「$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数である」となる。

$n$ が偶数であると仮定する。

このとき、$n$ は整数 $k$ を用いて $n = 2k$ と表せる。

両辺を2乗すると、

$n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$

となる。ここで、$2k^2$ は整数なので、$n^2$ は 2 の倍数である。

したがって、$n^2$ は偶数である。

対偶が真であるから、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である（証明終わり）。