問題は2つあります。 1つ目は、$|e^{2iz}| = \sqrt{\cos^2 2x + \sin^2 2x} = 1$ を最も簡単な形に変形すること。 2つ目は、$\frac{x-iy}{x+iy}$ の実部と虚部を求めること。

解析学複素数絶対値指数関数実部虚部
2025/7/9

1. 問題の内容

問題は2つあります。
1つ目は、e2iz=cos22x+sin22x=1|e^{2iz}| = \sqrt{\cos^2 2x + \sin^2 2x} = 1 を最も簡単な形に変形すること。
2つ目は、xiyx+iy\frac{x-iy}{x+iy} の実部と虚部を求めること。

2. 解き方の手順

(1) e2iz|e^{2iz}| の変形
z=x+iyz = x + iy (x,yx, y は実数) とすると、
e2iz=e2i(x+iy)=e2ix2y=e2ye2ix=e2y(cos2x+isin2x)e^{2iz} = e^{2i(x+iy)} = e^{2ix - 2y} = e^{-2y} e^{2ix} = e^{-2y}(\cos 2x + i \sin 2x)
e2iz=e2y(cos2x+isin2x)=e2ycos2x+isin2x|e^{2iz}| = |e^{-2y}(\cos 2x + i \sin 2x)| = |e^{-2y}| |\cos 2x + i \sin 2x|
e2y=e2y|e^{-2y}| = e^{-2y}
cos2x+isin2x=cos22x+sin22x=1=1|\cos 2x + i \sin 2x| = \sqrt{\cos^2 2x + \sin^2 2x} = \sqrt{1} = 1
よって、e2iz=e2y|e^{2iz}| = e^{-2y}
問題文には e2iz=cos22x+sin22x=1|e^{2iz}| = \sqrt{\cos^2 2x + \sin^2 2x} = 1 とありますが、これは y=0y=0 の場合です。一般的には e2ye^{-2y} となります。
(2) xiyx+iy\frac{x-iy}{x+iy} の実部と虚部
xiyx+iy\frac{x-iy}{x+iy} を有理化するために、分母の共役複素数を分母分子にかけます。
xiyx+iy=xiyx+iyxiyxiy=(xiy)2x2+y2=x22ixyy2x2+y2=x2y2x2+y2i2xyx2+y2\frac{x-iy}{x+iy} = \frac{x-iy}{x+iy} \cdot \frac{x-iy}{x-iy} = \frac{(x-iy)^2}{x^2 + y^2} = \frac{x^2 - 2ixy - y^2}{x^2 + y^2} = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} - i \frac{2xy}{x^2 + y^2}
よって、実部は x2y2x2+y2\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} で、虚部は 2xyx2+y2-\frac{2xy}{x^2 + y^2} です。

3. 最終的な答え

(1) e2iz=e2y|e^{2iz}| = e^{-2y} (z=x+iyz = x + iy)
e2iz=1|e^{2iz}| = 1 (y=0y=0 の場合)
(2) 実部: x2y2x2+y2\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}
虚部: 2xyx2+y2-\frac{2xy}{x^2 + y^2}

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