問題は2つあります。 1つ目は、$|e^{2iz}| = \sqrt{\cos^2 2x + \sin^2 2x} = 1$ を最も簡単な形に変形すること。 2つ目は、$\frac{x-iy}{x+iy}$ の実部と虚部を求めること。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1つ目は、$|e^{2iz}| = \sqrt{\cos^2 2x + \sin^2 2x} = 1$ を最も簡単な形に変形すること。

2つ目は、$\frac{x-iy}{x+iy}$ の実部と虚部を求めること。

2. 解き方の手順

(1) $|e^{2iz}|$ の変形

$z = x + iy$ ($x, y$ は実数) とすると、

$e^{2iz} = e^{2i(x+iy)} = e^{2ix - 2y} = e^{-2y} e^{2ix} = e^{-2y}(\cos 2x + i \sin 2x)$

$|e^{2iz}| = |e^{-2y}(\cos 2x + i \sin 2x)| = |e^{-2y}| |\cos 2x + i \sin 2x|$

$|e^{-2y}| = e^{-2y}$

$|\cos 2x + i \sin 2x| = \sqrt{\cos^2 2x + \sin^2 2x} = \sqrt{1} = 1$

よって、$|e^{2iz}| = e^{-2y}$

問題文には $|e^{2iz}| = \sqrt{\cos^2 2x + \sin^2 2x} = 1$ とありますが、これは $y=0$ の場合です。一般的には $e^{-2y}$ となります。

(2) $\frac{x-iy}{x+iy}$ の実部と虚部

$\frac{x-iy}{x+iy}$ を有理化するために、分母の共役複素数を分母分子にかけます。

$\frac{x-iy}{x+iy} = \frac{x-iy}{x+iy} \cdot \frac{x-iy}{x-iy} = \frac{(x-iy)^2}{x^2 + y^2} = \frac{x^2 - 2ixy - y^2}{x^2 + y^2} = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} - i \frac{2xy}{x^2 + y^2}$

よって、実部は $\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ で、虚部は $-\frac{2xy}{x^2 + y^2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $|e^{2iz}| = e^{-2y}$ ($z = x + iy$)

$|e^{2iz}| = 1$ ($y=0$ の場合)

(2) 実部: $\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$

虚部: $-\frac{2xy}{x^2 + y^2}$