次の不定積分を計算します。 $\int x\sqrt{2x+3} dx$ ただし、$\sqrt{2x+3}=t$という変数変換を利用します。

解析学不定積分変数変換積分
2025/7/9

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。
x2x+3dx\int x\sqrt{2x+3} dx
ただし、2x+3=t\sqrt{2x+3}=tという変数変換を利用します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた変数変換 2x+3=t\sqrt{2x+3}=t から xxtt で表します。
t=2x+3t = \sqrt{2x+3} の両辺を2乗すると、
t2=2x+3t^2 = 2x+3
2x=t232x = t^2 - 3
x=12(t23)x = \frac{1}{2}(t^2-3)
次に、dxdxdtdt で表します。t=2x+3t = \sqrt{2x+3} の両辺を xx で微分すると、
dtdx=122x+32=12x+3=1t\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{2x+3}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+3}} = \frac{1}{t}
したがって、dx=tdtdx = t dt
これらの結果を積分に代入すると、
x2x+3dx=12(t23)ttdt=12(t43t2)dt\int x\sqrt{2x+3} dx = \int \frac{1}{2}(t^2-3) \cdot t \cdot t dt = \frac{1}{2} \int (t^4 - 3t^2) dt
=12(t55t3)+C= \frac{1}{2} \left( \frac{t^5}{5} - t^3 \right) + C
=110t512t3+C= \frac{1}{10}t^5 - \frac{1}{2}t^3 + C
ここで、t=2x+3t = \sqrt{2x+3} を代入すると、
=110(2x+3)512(2x+3)3+C= \frac{1}{10}(\sqrt{2x+3})^5 - \frac{1}{2}(\sqrt{2x+3})^3 + C
=110(2x+3)5/212(2x+3)3/2+C= \frac{1}{10}(2x+3)^{5/2} - \frac{1}{2}(2x+3)^{3/2} + C
=110(2x+3)3/2[(2x+3)5]+C= \frac{1}{10}(2x+3)^{3/2} [(2x+3) - 5] + C
=110(2x+3)3/2(2x2)+C= \frac{1}{10}(2x+3)^{3/2}(2x - 2) + C
=15(x1)(2x+3)3/2+C= \frac{1}{5}(x-1)(2x+3)^{3/2} + C

3. 最終的な答え

x2x+3dx=15(x1)(2x+3)3/2+C\int x\sqrt{2x+3} dx = \frac{1}{5}(x-1)(2x+3)^{3/2} + C

「解析学」の関連問題

$f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ と $g: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ は $\mathbb{R}^2$...

偏微分合成関数ラプラス方程式座標変換
2025/7/9

$t = \tan{\frac{x}{2}}$ とおくとき、以下の問題を解く。 (1) $\sin{x}$ および $\cos{x}$ を $t$ で表せ。 (2) $\frac{dx}{dt}$ を...

三角関数不定積分置換積分半角の公式部分分数分解
2025/7/9

問題1は、次の関数を微分せよという問題です。具体的には、 a) $f(x) = \log \left( \frac{2x}{x^2+1} \right)$ c) $g(x) = \log (2x)$ ...

微分対数関数合成関数の微分
2025/7/9

3次方程式 $2x^3 + 3x^2 - 12x - 2 = 0$ の実数解の個数と、それぞれの解の符号を調べます。

3次方程式実数解増減導関数極値解の符号
2025/7/9

与えられた陰関数 $y = y(x)$ について、指定された条件における $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値を求める問題です。具体的には、以下の3つの小問があります。 (1) $x^2 - ...

陰関数微分二階微分
2025/7/9

関数 $f(x, y) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + y - \frac{1}{5}y^5$ が与えられています。 (1) $f(x, y)$ の $x$ に関する偏微分 $\fr...

偏微分臨界点ヘッセ行列極値
2025/7/9

与えられた関数 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy + 9$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x, y)$ は点 $(0, 0)$ で極値をとるかどうかを判定し、証明す...

多変数関数極値偏微分ヘッセ行列
2025/7/9

与えられた関数 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy + 9$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x, y)$ は点 $(0, 0)$ で極値をとるかどうかを証明付きで答...

多変数関数偏微分極値停留点ヘッセ行列
2025/7/9

与えられた関数 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy + 9$ について、次の問いに答える。 (1) $f(x, y)$ は $(0, 0)$ で極値をとるかどうかを証明を付けて答える...

多変数関数偏微分極値ヘッセ行列
2025/7/9

関数 $f: X \rightarrow Y$ と部分集合 $A, B \subset X$ および $C, D \subset Y$ が与えられているとき、以下の2つの包含関係の逆の包含関係が一般的...

写像集合逆像包含関係反例
2025/7/9