次の不定積分を計算します。 $\int x\sqrt{2x+3} dx$ ただし、$\sqrt{2x+3}=t$という変数変換を利用します。

解析学不定積分変数変換積分
2025/7/9

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。
x2x+3dx\int x\sqrt{2x+3} dx
ただし、2x+3=t\sqrt{2x+3}=tという変数変換を利用します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた変数変換 2x+3=t\sqrt{2x+3}=t から xxtt で表します。
t=2x+3t = \sqrt{2x+3} の両辺を2乗すると、
t2=2x+3t^2 = 2x+3
2x=t232x = t^2 - 3
x=12(t23)x = \frac{1}{2}(t^2-3)
次に、dxdxdtdt で表します。t=2x+3t = \sqrt{2x+3} の両辺を xx で微分すると、
dtdx=122x+32=12x+3=1t\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{2x+3}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+3}} = \frac{1}{t}
したがって、dx=tdtdx = t dt
これらの結果を積分に代入すると、
x2x+3dx=12(t23)ttdt=12(t43t2)dt\int x\sqrt{2x+3} dx = \int \frac{1}{2}(t^2-3) \cdot t \cdot t dt = \frac{1}{2} \int (t^4 - 3t^2) dt
=12(t55t3)+C= \frac{1}{2} \left( \frac{t^5}{5} - t^3 \right) + C
=110t512t3+C= \frac{1}{10}t^5 - \frac{1}{2}t^3 + C
ここで、t=2x+3t = \sqrt{2x+3} を代入すると、
=110(2x+3)512(2x+3)3+C= \frac{1}{10}(\sqrt{2x+3})^5 - \frac{1}{2}(\sqrt{2x+3})^3 + C
=110(2x+3)5/212(2x+3)3/2+C= \frac{1}{10}(2x+3)^{5/2} - \frac{1}{2}(2x+3)^{3/2} + C
=110(2x+3)3/2[(2x+3)5]+C= \frac{1}{10}(2x+3)^{3/2} [(2x+3) - 5] + C
=110(2x+3)3/2(2x2)+C= \frac{1}{10}(2x+3)^{3/2}(2x - 2) + C
=15(x1)(2x+3)3/2+C= \frac{1}{5}(x-1)(2x+3)^{3/2} + C

3. 最終的な答え

x2x+3dx=15(x1)(2x+3)3/2+C\int x\sqrt{2x+3} dx = \frac{1}{5}(x-1)(2x+3)^{3/2} + C

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