次の不定積分を計算します。 $\int x\sqrt{2x+3} dx$ ただし、$\sqrt{2x+3}=t$という変数変換を利用します。

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int x\sqrt{2x+3} dx$

ただし、$\sqrt{2x+3}=t$という変数変換を利用します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた変数変換 $\sqrt{2x+3}=t$ から $x$ を $t$ で表します。

$t = \sqrt{2x+3}$ の両辺を2乗すると、

$t^2 = 2x+3$

$2x = t^2 - 3$

$x = \frac{1}{2}(t^2-3)$

次に、$dx$ を $dt$ で表します。$t = \sqrt{2x+3}$ の両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{2x+3}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+3}} = \frac{1}{t}$

したがって、$dx = t dt$

これらの結果を積分に代入すると、

$\int x\sqrt{2x+3} dx = \int \frac{1}{2}(t^2-3) \cdot t \cdot t dt = \frac{1}{2} \int (t^4 - 3t^2) dt$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{t^5}{5} - t^3 \right) + C$

$= \frac{1}{10}t^5 - \frac{1}{2}t^3 + C$

ここで、$t = \sqrt{2x+3}$ を代入すると、

$= \frac{1}{10}(\sqrt{2x+3})^5 - \frac{1}{2}(\sqrt{2x+3})^3 + C$

$= \frac{1}{10}(2x+3)^{5/2} - \frac{1}{2}(2x+3)^{3/2} + C$

$= \frac{1}{10}(2x+3)^{3/2} [(2x+3) - 5] + C$

$= \frac{1}{10}(2x+3)^{3/2}(2x - 2) + C$

$= \frac{1}{5}(x-1)(2x+3)^{3/2} + C$

3. 最終的な答え

$\int x\sqrt{2x+3} dx = \frac{1}{5}(x-1)(2x+3)^{3/2} + C$