次の不定積分を計算します。 $\int x\sqrt{2x+3} dx$ ただし、$\sqrt{2x+3}=t$という変数変換を利用します。解析学不定積分変数変換積分2025/7/91. 問題の内容次の不定積分を計算します。∫x2x+3dx\int x\sqrt{2x+3} dx∫x2x+3dxただし、2x+3=t\sqrt{2x+3}=t2x+3=tという変数変換を利用します。2. 解き方の手順まず、与えられた変数変換 2x+3=t\sqrt{2x+3}=t2x+3=t から xxx を ttt で表します。t=2x+3t = \sqrt{2x+3}t=2x+3 の両辺を2乗すると、t2=2x+3t^2 = 2x+3t2=2x+32x=t2−32x = t^2 - 32x=t2−3x=12(t2−3)x = \frac{1}{2}(t^2-3)x=21(t2−3)次に、dxdxdx を dtdtdt で表します。t=2x+3t = \sqrt{2x+3}t=2x+3 の両辺を xxx で微分すると、dtdx=122x+3⋅2=12x+3=1t\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{2x+3}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+3}} = \frac{1}{t}dxdt=22x+31⋅2=2x+31=t1したがって、dx=tdtdx = t dtdx=tdtこれらの結果を積分に代入すると、∫x2x+3dx=∫12(t2−3)⋅t⋅tdt=12∫(t4−3t2)dt\int x\sqrt{2x+3} dx = \int \frac{1}{2}(t^2-3) \cdot t \cdot t dt = \frac{1}{2} \int (t^4 - 3t^2) dt∫x2x+3dx=∫21(t2−3)⋅t⋅tdt=21∫(t4−3t2)dt=12(t55−t3)+C= \frac{1}{2} \left( \frac{t^5}{5} - t^3 \right) + C=21(5t5−t3)+C=110t5−12t3+C= \frac{1}{10}t^5 - \frac{1}{2}t^3 + C=101t5−21t3+Cここで、t=2x+3t = \sqrt{2x+3}t=2x+3 を代入すると、=110(2x+3)5−12(2x+3)3+C= \frac{1}{10}(\sqrt{2x+3})^5 - \frac{1}{2}(\sqrt{2x+3})^3 + C=101(2x+3)5−21(2x+3)3+C=110(2x+3)5/2−12(2x+3)3/2+C= \frac{1}{10}(2x+3)^{5/2} - \frac{1}{2}(2x+3)^{3/2} + C=101(2x+3)5/2−21(2x+3)3/2+C=110(2x+3)3/2[(2x+3)−5]+C= \frac{1}{10}(2x+3)^{3/2} [(2x+3) - 5] + C=101(2x+3)3/2[(2x+3)−5]+C=110(2x+3)3/2(2x−2)+C= \frac{1}{10}(2x+3)^{3/2}(2x - 2) + C=101(2x+3)3/2(2x−2)+C=15(x−1)(2x+3)3/2+C= \frac{1}{5}(x-1)(2x+3)^{3/2} + C=51(x−1)(2x+3)3/2+C3. 最終的な答え∫x2x+3dx=15(x−1)(2x+3)3/2+C\int x\sqrt{2x+3} dx = \frac{1}{5}(x-1)(2x+3)^{3/2} + C∫x2x+3dx=51(x−1)(2x+3)3/2+C