$\int x \sqrt{2x+3} \, dx$ を、$2x+3 = t$ という置換を用いて計算します。

1. 問題の内容

$\int x \sqrt{2x+3} \, dx$ を、$2x+3 = t$ という置換を用いて計算します。

2. 解き方の手順

まず、$2x+3 = t$ より、$2x = t-3$ なので、$x = \frac{t-3}{2}$ となります。

また、$2dx = dt$ より、$dx = \frac{1}{2} dt$ となります。

これらの結果を用いて、積分を書き換えます。

$\int x \sqrt{2x+3} \, dx = \int \frac{t-3}{2} \sqrt{t} \frac{1}{2} dt$

$= \frac{1}{4} \int (t-3) \sqrt{t} \, dt$

$= \frac{1}{4} \int (t^{3/2} - 3t^{1/2}) \, dt$

$= \frac{1}{4} \left[ \frac{t^{5/2}}{5/2} - 3 \frac{t^{3/2}}{3/2} \right] + C$

$= \frac{1}{4} \left[ \frac{2}{5} t^{5/2} - 3 \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} \right] + C$

$= \frac{1}{4} \left[ \frac{2}{5} t^{5/2} - 2 t^{3/2} \right] + C$

$= \frac{1}{10} t^{5/2} - \frac{1}{2} t^{3/2} + C$

ここで、$t = 2x+3$ なので、これを代入します。

$= \frac{1}{10} (2x+3)^{5/2} - \frac{1}{2} (2x+3)^{3/2} + C$

$= \frac{1}{10} (2x+3)^{3/2} \left[ (2x+3) - 5 \right] + C$

$= \frac{1}{10} (2x+3)^{3/2} (2x - 2) + C$

$= \frac{1}{5} (x-1) (2x+3)^{3/2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{5}(x-1)(2x+3)^{3/2} + C$