$\int x \sqrt{2x+3} \, dx$ を、$2x+3 = t$ という置換を用いて計算します。解析学積分置換積分2025/7/91. 問題の内容∫x2x+3 dx\int x \sqrt{2x+3} \, dx∫x2x+3dx を、2x+3=t2x+3 = t2x+3=t という置換を用いて計算します。2. 解き方の手順まず、2x+3=t2x+3 = t2x+3=t より、2x=t−32x = t-32x=t−3 なので、x=t−32x = \frac{t-3}{2}x=2t−3 となります。また、2dx=dt2dx = dt2dx=dt より、dx=12dtdx = \frac{1}{2} dtdx=21dt となります。これらの結果を用いて、積分を書き換えます。∫x2x+3 dx=∫t−32t12dt\int x \sqrt{2x+3} \, dx = \int \frac{t-3}{2} \sqrt{t} \frac{1}{2} dt∫x2x+3dx=∫2t−3t21dt=14∫(t−3)t dt= \frac{1}{4} \int (t-3) \sqrt{t} \, dt=41∫(t−3)tdt=14∫(t3/2−3t1/2) dt= \frac{1}{4} \int (t^{3/2} - 3t^{1/2}) \, dt=41∫(t3/2−3t1/2)dt=14[t5/25/2−3t3/23/2]+C= \frac{1}{4} \left[ \frac{t^{5/2}}{5/2} - 3 \frac{t^{3/2}}{3/2} \right] + C=41[5/2t5/2−33/2t3/2]+C=14[25t5/2−3⋅23t3/2]+C= \frac{1}{4} \left[ \frac{2}{5} t^{5/2} - 3 \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} \right] + C=41[52t5/2−3⋅32t3/2]+C=14[25t5/2−2t3/2]+C= \frac{1}{4} \left[ \frac{2}{5} t^{5/2} - 2 t^{3/2} \right] + C=41[52t5/2−2t3/2]+C=110t5/2−12t3/2+C= \frac{1}{10} t^{5/2} - \frac{1}{2} t^{3/2} + C=101t5/2−21t3/2+Cここで、t=2x+3t = 2x+3t=2x+3 なので、これを代入します。=110(2x+3)5/2−12(2x+3)3/2+C= \frac{1}{10} (2x+3)^{5/2} - \frac{1}{2} (2x+3)^{3/2} + C=101(2x+3)5/2−21(2x+3)3/2+C=110(2x+3)3/2[(2x+3)−5]+C= \frac{1}{10} (2x+3)^{3/2} \left[ (2x+3) - 5 \right] + C=101(2x+3)3/2[(2x+3)−5]+C=110(2x+3)3/2(2x−2)+C= \frac{1}{10} (2x+3)^{3/2} (2x - 2) + C=101(2x+3)3/2(2x−2)+C=15(x−1)(2x+3)3/2+C= \frac{1}{5} (x-1) (2x+3)^{3/2} + C=51(x−1)(2x+3)3/2+C3. 最終的な答え15(x−1)(2x+3)3/2+C\frac{1}{5}(x-1)(2x+3)^{3/2} + C51(x−1)(2x+3)3/2+C