$\int x \sqrt{2x+3} \, dx$ を、$2x+3 = t$ という置換を用いて計算します。

解析学積分置換積分
2025/7/9

1. 問題の内容

x2x+3dx\int x \sqrt{2x+3} \, dx を、2x+3=t2x+3 = t という置換を用いて計算します。

2. 解き方の手順

まず、2x+3=t2x+3 = t より、2x=t32x = t-3 なので、x=t32x = \frac{t-3}{2} となります。
また、2dx=dt2dx = dt より、dx=12dtdx = \frac{1}{2} dt となります。
これらの結果を用いて、積分を書き換えます。
x2x+3dx=t32t12dt\int x \sqrt{2x+3} \, dx = \int \frac{t-3}{2} \sqrt{t} \frac{1}{2} dt
=14(t3)tdt= \frac{1}{4} \int (t-3) \sqrt{t} \, dt
=14(t3/23t1/2)dt= \frac{1}{4} \int (t^{3/2} - 3t^{1/2}) \, dt
=14[t5/25/23t3/23/2]+C= \frac{1}{4} \left[ \frac{t^{5/2}}{5/2} - 3 \frac{t^{3/2}}{3/2} \right] + C
=14[25t5/2323t3/2]+C= \frac{1}{4} \left[ \frac{2}{5} t^{5/2} - 3 \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} \right] + C
=14[25t5/22t3/2]+C= \frac{1}{4} \left[ \frac{2}{5} t^{5/2} - 2 t^{3/2} \right] + C
=110t5/212t3/2+C= \frac{1}{10} t^{5/2} - \frac{1}{2} t^{3/2} + C
ここで、t=2x+3t = 2x+3 なので、これを代入します。
=110(2x+3)5/212(2x+3)3/2+C= \frac{1}{10} (2x+3)^{5/2} - \frac{1}{2} (2x+3)^{3/2} + C
=110(2x+3)3/2[(2x+3)5]+C= \frac{1}{10} (2x+3)^{3/2} \left[ (2x+3) - 5 \right] + C
=110(2x+3)3/2(2x2)+C= \frac{1}{10} (2x+3)^{3/2} (2x - 2) + C
=15(x1)(2x+3)3/2+C= \frac{1}{5} (x-1) (2x+3)^{3/2} + C

3. 最終的な答え

15(x1)(2x+3)3/2+C\frac{1}{5}(x-1)(2x+3)^{3/2} + C

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