$\lim_{x \to +0} \log x^{2x}$ を計算します。対数は常用対数（底が10）とします。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to +0} \log x^{2x}$ を計算します。対数は常用対数（底が10）とします。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を用いて式を簡単にします。

$\log x^{2x} = 2x \log x$

したがって、求める極限は

$\lim_{x \to +0} 2x \log x$

です。

このままでは $0 \cdot (-\infty)$ の不定形なので、変形してロピタルの定理が使えるようにします。

$2x \log x = 2 \frac{\log x}{\frac{1}{x}}$

このとき、$\lim_{x \to +0} \log x = -\infty$ かつ $\lim_{x \to +0} \frac{1}{x} = +\infty$ なので、$\frac{-\infty}{\infty}$ の不定形となり、ロピタルの定理が適用できます。

ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to +0} 2 \frac{\log x}{\frac{1}{x}} = 2 \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = 2 \lim_{x \to +0} (-x) = 0$

3. 最終的な答え

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