$\lim_{x \to +0} \log x^{2x}$ を計算します。対数は常用対数(底が10)とします。解析学極限対数ロピタルの定理2025/7/91. 問題の内容limx→+0logx2x\lim_{x \to +0} \log x^{2x}limx→+0logx2x を計算します。対数は常用対数(底が10)とします。2. 解き方の手順まず、対数の性質を用いて式を簡単にします。logx2x=2xlogx\log x^{2x} = 2x \log xlogx2x=2xlogxしたがって、求める極限はlimx→+02xlogx\lim_{x \to +0} 2x \log xlimx→+02xlogxです。このままでは 0⋅(−∞)0 \cdot (-\infty)0⋅(−∞) の不定形なので、変形してロピタルの定理が使えるようにします。2xlogx=2logx1x2x \log x = 2 \frac{\log x}{\frac{1}{x}}2xlogx=2x1logxこのとき、limx→+0logx=−∞\lim_{x \to +0} \log x = -\inftylimx→+0logx=−∞ かつ limx→+01x=+∞\lim_{x \to +0} \frac{1}{x} = +\inftylimx→+0x1=+∞ なので、−∞∞\frac{-\infty}{\infty}∞−∞ の不定形となり、ロピタルの定理が適用できます。ロピタルの定理を適用すると、limx→+02logx1x=2limx→+01x−1x2=2limx→+0(−x)=0\lim_{x \to +0} 2 \frac{\log x}{\frac{1}{x}} = 2 \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = 2 \lim_{x \to +0} (-x) = 0limx→+02x1logx=2limx→+0−x21x1=2limx→+0(−x)=03. 最終的な答え0