$\lim_{x \to +0} \log x^{2x}$ を計算します。対数は常用対数(底が10)とします。

解析学極限対数ロピタルの定理
2025/7/9

1. 問題の内容

limx+0logx2x\lim_{x \to +0} \log x^{2x} を計算します。対数は常用対数(底が10)とします。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を用いて式を簡単にします。
logx2x=2xlogx\log x^{2x} = 2x \log x
したがって、求める極限は
limx+02xlogx\lim_{x \to +0} 2x \log x
です。
このままでは 0()0 \cdot (-\infty) の不定形なので、変形してロピタルの定理が使えるようにします。
2xlogx=2logx1x2x \log x = 2 \frac{\log x}{\frac{1}{x}}
このとき、limx+0logx=\lim_{x \to +0} \log x = -\infty かつ limx+01x=+\lim_{x \to +0} \frac{1}{x} = +\infty なので、\frac{-\infty}{\infty} の不定形となり、ロピタルの定理が適用できます。
ロピタルの定理を適用すると、
limx+02logx1x=2limx+01x1x2=2limx+0(x)=0\lim_{x \to +0} 2 \frac{\log x}{\frac{1}{x}} = 2 \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = 2 \lim_{x \to +0} (-x) = 0

3. 最終的な答え

0

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