定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x \cos x dx$ の値を求めます。解析学定積分置換積分三角関数2025/7/9問題2 (1) の定積分 ∫0π2sin5xcosxdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x \cos x dx∫02πsin5xcosxdx を解きます。1. 問題の内容定積分 ∫0π2sin5xcosxdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x \cos x dx∫02πsin5xcosxdx の値を求めます。2. 解き方の手順この積分は、置換積分を使って解くことができます。u=sinxu = \sin xu=sinx と置くと、du=cosxdxdu = \cos x dxdu=cosxdx となります。積分の範囲も変更する必要があります。x=0x = 0x=0 のとき、u=sin0=0u = \sin 0 = 0u=sin0=0 であり、x=π2x = \frac{\pi}{2}x=2π のとき、u=sinπ2=1u = \sin \frac{\pi}{2} = 1u=sin2π=1 となります。したがって、積分は次のように書き換えられます。∫0π2sin5xcosxdx=∫01u5du\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x \cos x dx = \int_{0}^{1} u^5 du∫02πsin5xcosxdx=∫01u5duu5u^5u5 の積分は u66\frac{u^6}{6}6u6 ですから、∫01u5du=[u66]01=166−066=16\int_{0}^{1} u^5 du = \left[ \frac{u^6}{6} \right]_{0}^{1} = \frac{1^6}{6} - \frac{0^6}{6} = \frac{1}{6}∫01u5du=[6u6]01=616−606=613. 最終的な答え∫0π2sin5xcosxdx=16\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x \cos x dx = \frac{1}{6}∫02πsin5xcosxdx=61