定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x \cos x dx$ の値を求めます。

解析学定積分置換積分三角関数
2025/7/9
問題2 (1) の定積分 0π2sin5xcosxdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x \cos x dx を解きます。

1. 問題の内容

定積分 0π2sin5xcosxdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x \cos x dx の値を求めます。

2. 解き方の手順

この積分は、置換積分を使って解くことができます。
u=sinxu = \sin x と置くと、du=cosxdxdu = \cos x dx となります。
積分の範囲も変更する必要があります。
x=0x = 0 のとき、u=sin0=0u = \sin 0 = 0 であり、x=π2x = \frac{\pi}{2} のとき、u=sinπ2=1u = \sin \frac{\pi}{2} = 1 となります。
したがって、積分は次のように書き換えられます。
0π2sin5xcosxdx=01u5du\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x \cos x dx = \int_{0}^{1} u^5 du
u5u^5 の積分は u66\frac{u^6}{6} ですから、
01u5du=[u66]01=166066=16\int_{0}^{1} u^5 du = \left[ \frac{u^6}{6} \right]_{0}^{1} = \frac{1^6}{6} - \frac{0^6}{6} = \frac{1}{6}

3. 最終的な答え

0π2sin5xcosxdx=16\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x \cos x dx = \frac{1}{6}

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