定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x \cos x dx$ の値を求めます。

問題2 (1) の定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x \cos x dx$ を解きます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x \cos x dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

この積分は、置換積分を使って解くことができます。

$u = \sin x$ と置くと、$du = \cos x dx$ となります。

積分の範囲も変更する必要があります。

$x = 0$ のとき、$u = \sin 0 = 0$ であり、$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$u = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ となります。

したがって、積分は次のように書き換えられます。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x \cos x dx = \int_{0}^{1} u^5 du$

$u^5$ の積分は $\frac{u^6}{6}$ ですから、

$\int_{0}^{1} u^5 du = \left[ \frac{u^6}{6} \right]_{0}^{1} = \frac{1^6}{6} - \frac{0^6}{6} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x \cos x dx = \frac{1}{6}$