次の関数を微分する問題です。 (1) $y = \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ (2) $y = \tan^{-1} \frac{1-\cos x}{\sin x}$

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。

(1) $y = \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

(2) $y = \tan^{-1} \frac{1-\cos x}{\sin x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

$x = \tan \theta$ と置換します。このとき、$dx = \sec^2 \theta d\theta$です。

$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}} = \frac{\tan \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta}} = \frac{\tan \theta}{\sec \theta} = \frac{\sin \theta / \cos \theta}{1 / \cos \theta} = \sin \theta$

したがって、$y = \sin^{-1}(\sin \theta) = \theta$。

$x = \tan \theta$ より、$\theta = \tan^{-1} x$。

よって、$y = \tan^{-1} x$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}$

(2) $y = \tan^{-1} \frac{1-\cos x}{\sin x}$

$\frac{1-\cos x}{\sin x} = \frac{2 \sin^2 (x/2)}{2 \sin (x/2) \cos (x/2)} = \frac{\sin (x/2)}{\cos (x/2)} = \tan (x/2)$

したがって、$y = \tan^{-1}(\tan (x/2)) = x/2$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x/2) = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}$