次の関数を微分する問題です。 (1) $y = \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ (2) $y = \tan^{-1} \frac{1-\cos x}{\sin x}$

解析学微分逆三角関数置換積分
2025/7/9

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。
(1) y=sin1x1+x2y = \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
(2) y=tan11cosxsinxy = \tan^{-1} \frac{1-\cos x}{\sin x}

2. 解き方の手順

(1) y=sin1x1+x2y = \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
x=tanθx = \tan \theta と置換します。このとき、dx=sec2θdθdx = \sec^2 \theta d\thetaです。
x1+x2=tanθ1+tan2θ=tanθsec2θ=tanθsecθ=sinθ/cosθ1/cosθ=sinθ\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}} = \frac{\tan \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta}} = \frac{\tan \theta}{\sec \theta} = \frac{\sin \theta / \cos \theta}{1 / \cos \theta} = \sin \theta
したがって、y=sin1(sinθ)=θy = \sin^{-1}(\sin \theta) = \theta
x=tanθx = \tan \theta より、θ=tan1x\theta = \tan^{-1} x
よって、y=tan1xy = \tan^{-1} x
dydx=ddx(tan1x)=11+x2\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}
(2) y=tan11cosxsinxy = \tan^{-1} \frac{1-\cos x}{\sin x}
1cosxsinx=2sin2(x/2)2sin(x/2)cos(x/2)=sin(x/2)cos(x/2)=tan(x/2)\frac{1-\cos x}{\sin x} = \frac{2 \sin^2 (x/2)}{2 \sin (x/2) \cos (x/2)} = \frac{\sin (x/2)}{\cos (x/2)} = \tan (x/2)
したがって、y=tan1(tan(x/2))=x/2y = \tan^{-1}(\tan (x/2)) = x/2
dydx=ddx(x/2)=12\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x/2) = \frac{1}{2}

3. 最終的な答え

(1) dydx=11+x2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2}
(2) dydx=12\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}

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