$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} - ax - b) = 3$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} - ax - b) = 3$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2 + 4x}$ の部分を処理するために、$\sqrt{x^2 + 4x} - ax - b$ に $\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b$ を掛けて割り、有理化を試みます。

$\sqrt{x^2 + 4x} - (ax + b) = \frac{(\sqrt{x^2 + 4x} - (ax + b))(\sqrt{x^2 + 4x} + (ax + b))}{\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b} = \frac{(x^2 + 4x) - (ax + b)^2}{\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b}$

$= \frac{x^2 + 4x - (a^2 x^2 + 2abx + b^2)}{\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b} = \frac{(1 - a^2)x^2 + (4 - 2ab)x - b^2}{\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b}$

$x \to \infty$ の極限を考えるためには、分子の $x^2$ の係数が0になる必要があります。つまり、$1 - a^2 = 0$ である必要があります。

したがって、$a^2 = 1$ なので、$a = \pm 1$ です。

もし $a = -1$ なら、$\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b = \sqrt{x^2 + 4x} - x + b$ となり、$x \to \infty$ のとき、これは$\infty$ に発散してしまうので、与えられた極限が存在しません。したがって、$a = 1$ である必要があります。

$a = 1$ のとき、$\sqrt{x^2 + 4x} - x - b = \frac{(4 - 2b)x - b^2}{\sqrt{x^2 + 4x} + x + b} = \frac{(4 - 2b)x - b^2}{\sqrt{x^2(1 + \frac{4}{x})} + x + b} = \frac{(4 - 2b)x - b^2}{x\sqrt{1 + \frac{4}{x}} + x + b} = \frac{(4 - 2b) - \frac{b^2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x}} + 1 + \frac{b}{x}}$

$x \to \infty$ の極限を考えると、$\frac{4 - 2b}{\sqrt{1} + 1} = \frac{4 - 2b}{2} = 2 - b = 3$ となる必要があります。

したがって、$b = 2 - 3 = -1$ です。

したがって、$a = 1, b = -1$

3. 最終的な答え

$a = 1$, $b = -1$