$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} - ax - b) = 3$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める。

解析学極限ルート有理化
2025/7/9

1. 問題の内容

limx(x2+4xaxb)=3\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} - ax - b) = 3 が成り立つように、a,ba, b の値を定める。

2. 解き方の手順

まず、x2+4x\sqrt{x^2 + 4x} の部分を処理するために、x2+4xaxb\sqrt{x^2 + 4x} - ax - bx2+4x+ax+b\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b を掛けて割り、有理化を試みます。
x2+4x(ax+b)=(x2+4x(ax+b))(x2+4x+(ax+b))x2+4x+ax+b=(x2+4x)(ax+b)2x2+4x+ax+b\sqrt{x^2 + 4x} - (ax + b) = \frac{(\sqrt{x^2 + 4x} - (ax + b))(\sqrt{x^2 + 4x} + (ax + b))}{\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b} = \frac{(x^2 + 4x) - (ax + b)^2}{\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b}
=x2+4x(a2x2+2abx+b2)x2+4x+ax+b=(1a2)x2+(42ab)xb2x2+4x+ax+b= \frac{x^2 + 4x - (a^2 x^2 + 2abx + b^2)}{\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b} = \frac{(1 - a^2)x^2 + (4 - 2ab)x - b^2}{\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b}
xx \to \infty の極限を考えるためには、分子の x2x^2 の係数が0になる必要があります。つまり、1a2=01 - a^2 = 0 である必要があります。
したがって、a2=1a^2 = 1 なので、a=±1a = \pm 1 です。
もし a=1a = -1 なら、x2+4x+ax+b=x2+4xx+b\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b = \sqrt{x^2 + 4x} - x + b となり、xx \to \infty のとき、これは\infty に発散してしまうので、与えられた極限が存在しません。したがって、a=1a = 1 である必要があります。
a=1a = 1 のとき、x2+4xxb=(42b)xb2x2+4x+x+b=(42b)xb2x2(1+4x)+x+b=(42b)xb2x1+4x+x+b=(42b)b2x1+4x+1+bx\sqrt{x^2 + 4x} - x - b = \frac{(4 - 2b)x - b^2}{\sqrt{x^2 + 4x} + x + b} = \frac{(4 - 2b)x - b^2}{\sqrt{x^2(1 + \frac{4}{x})} + x + b} = \frac{(4 - 2b)x - b^2}{x\sqrt{1 + \frac{4}{x}} + x + b} = \frac{(4 - 2b) - \frac{b^2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x}} + 1 + \frac{b}{x}}
xx \to \infty の極限を考えると、42b1+1=42b2=2b=3\frac{4 - 2b}{\sqrt{1} + 1} = \frac{4 - 2b}{2} = 2 - b = 3 となる必要があります。
したがって、b=23=1b = 2 - 3 = -1 です。
したがって、a=1,b=1a = 1, b = -1

3. 最終的な答え

a=1a = 1, b=1b = -1

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