極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} + x}{x\sqrt{x} + x}$ を求めます。

解析学極限関数の極限ルート分数
2025/7/9

1. 問題の内容

極限 limxx+xxx+x\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} + x}{x\sqrt{x} + x} を求めます。

2. 解き方の手順

xx \to \inftyのとき、x\sqrt{x}よりもxxのほうが大きいので、分母分子をxxx\sqrt{x}で割ることを考えます。
まず、分子と分母をそれぞれxxx\sqrt{x}で割ります。
limxx+xxx+x=limxxxx+xxxxxxx+xxx\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} + x}{x\sqrt{x} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}} + \frac{x}{x\sqrt{x}}}{\frac{x\sqrt{x}}{x\sqrt{x}} + \frac{x}{x\sqrt{x}}}
=limx1x+1x1+1x= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}}
xx \to \inftyのとき、1x0\frac{1}{x} \to 01x0\frac{1}{\sqrt{x}} \to 0であるので、
limx1x+1x1+1x=0+01+0=01=0\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}} = \frac{0 + 0}{1 + 0} = \frac{0}{1} = 0

3. 最終的な答え

0

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