極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} + x}{x\sqrt{x} + x}$ を求めます。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} + x}{x\sqrt{x} + x}$ を求めます。

2. 解き方の手順

$x \to \infty$のとき、$\sqrt{x}$よりも$x$のほうが大きいので、分母分子を$x\sqrt{x}$で割ることを考えます。

まず、分子と分母をそれぞれ$x\sqrt{x}$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} + x}{x\sqrt{x} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}} + \frac{x}{x\sqrt{x}}}{\frac{x\sqrt{x}}{x\sqrt{x}} + \frac{x}{x\sqrt{x}}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{1}{x} \to 0$、$\frac{1}{\sqrt{x}} \to 0$であるので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}} = \frac{0 + 0}{1 + 0} = \frac{0}{1} = 0$

3. 最終的な答え

0