与えられた式の分母を有理化する問題です。式は $\frac{1}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた式の分母を有理化する問題です。式は

$\frac{1}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}}$

です。

2. 解き方の手順

まず、$1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}$ に適当なものをかけて、ルートの数を減らすことを考えます。

$A = 1 + \sqrt{5}$ とすると、$A + \sqrt{6}$ という形なので、$A - \sqrt{6}$ をかけることを考えます。

$A - \sqrt{6} = 1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}$ なので、まず分子と分母に $1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}$ をかけます。

$\frac{1}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}} = \frac{1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}}{(1 + \sqrt{5} + \sqrt{6})(1 + \sqrt{5} - \sqrt{6})}$

分母を計算すると、

$(1 + \sqrt{5} + \sqrt{6})(1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}) = (1 + \sqrt{5})^2 - (\sqrt{6})^2 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 - 6 = 2\sqrt{5}$

となるので、

$\frac{1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}}{2\sqrt{5}}$

さらに分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{5}$ をかけます。

$\frac{(1 + \sqrt{5} - \sqrt{6})\sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} + 5 - \sqrt{30}}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{5 + \sqrt{5} - \sqrt{30}}{10}$