与えられた集合について、以下の問題を解く。 (1) 集合を外延的記法で表す。 (a) $x^2 - 2x - 15 = 0$ を満たす実数 $x$ の集合 (b) $n^4 - 1$ ($n$ は整数, $-\pi < n \le 1$) の集合 (c) $\{1, 2, 3\}$ の冪集合の部分集合で、要素数が偶数の集合 (2) 集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ について (a) 冪集合 $\mathcal{P}(A)$ の濃度を求める。 (b) $\mathcal{P}(A)$ の部分集合で、要素数が奇数の集合を外延的記法で表す。 (c) 与えられた命題の真偽を判定する。 (3) 普遍集合 $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$、$B = \{2, 3, 4, 6\}$ について、以下の集合を求める。 (a) $A \cap B^c$ (b) $A \cup B$ (c) $A \setminus B$ (d) $B \setminus A$ (e) $(A^c \cup B)^c$

1. 問題の内容

与えられた集合について、以下の問題を解く。

(1) 集合を外延的記法で表す。

(a) $x^2 - 2x - 15 = 0$ を満たす実数 $x$ の集合

(b) $n^4 - 1$ ($n$ は整数, $-\pi < n \le 1$) の集合

(c) $\{1, 2, 3\}$ の冪集合の部分集合で、要素数が偶数の集合

(2) 集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ について

(a) 冪集合 $\mathcal{P}(A)$ の濃度を求める。

(b) $\mathcal{P}(A)$ の部分集合で、要素数が奇数の集合を外延的記法で表す。

(c) 与えられた命題の真偽を判定する。

(3) 普遍集合 $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$、$B = \{2, 3, 4, 6\}$ について、以下の集合を求める。

(a) $A \cap B^c$

(b) $A \cup B$

(c) $A \setminus B$

(d) $B \setminus A$

(e) $(A^c \cup B)^c$

2. 解き方の手順

(1)

(a) $x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3) = 0$ より、$x = 5, -3$。

(b) $-\pi \approx -3.14$ なので、整数 $n$ は $-3, -2, -1, 0, 1$。

$n = -3$ のとき、$n^4 - 1 = (-3)^4 - 1 = 81 - 1 = 80$。

$n = -2$ のとき、$n^4 - 1 = (-2)^4 - 1 = 16 - 1 = 15$。

$n = -1$ のとき、$n^4 - 1 = (-1)^4 - 1 = 1 - 1 = 0$。

$n = 0$ のとき、$n^4 - 1 = 0^4 - 1 = -1$。

$n = 1$ のとき、$n^4 - 1 = 1^4 - 1 = 1 - 1 = 0$。

(c) $\mathcal{P}(\{1, 2, 3\}) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}\}$。

要素数が偶数のものは、$\emptyset, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}$。

(2)

(a) $A = \{1, 2, 3, 4\}$ の要素数は 4 なので、$\mathcal{P}(A)$ の濃度は $2^4 = 16$。

(b) $\mathcal{P}(A)$ の部分集合で、要素数が奇数のものは、

$\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}, \{1, 2, 3\}, \{1, 2, 4\}, \{1, 3, 4\}, \{2, 3, 4\}$。

(c)

(i) $\{1\} \in A$ は偽。集合 $\{1\}$ は $A$ の要素ではない。$1 \in A$ が真。

(ii) $\{1\} \subset A$ は真。集合 $\{1\}$ は $A$ の部分集合。

(iii) $\{1, 4\} \in \mathcal{P}(A)$ は真。$\{1, 4\}$ は $A$ の冪集合の要素。

(iv) $\{1, 4\} \subset \mathcal{P}(A)$ は偽。$\{1, 4\}$ は $A$ の要素ではない。$\{ \{1, 4\} \} \subset \mathcal{P}(A)$ が正しい。

(3)

(a) $B^c = X \setminus B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \setminus \{2, 3, 4, 6\} = \{1, 5\}$。

$A \cap B^c = \{1, 2, 3\} \cap \{1, 5\} = \{1\}$。

(b) $A \cup B = \{1, 2, 3\} \cup \{2, 3, 4, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 6\}$。

(c) $A \setminus B = \{1, 2, 3\} \setminus \{2, 3, 4, 6\} = \{1\}$。

(d) $B \setminus A = \{2, 3, 4, 6\} \setminus \{1, 2, 3\} = \{4, 6\}$。

(e) $A^c = X \setminus A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \setminus \{1, 2, 3\} = \{4, 5, 6\}$。

$A^c \cup B = \{4, 5, 6\} \cup \{2, 3, 4, 6\} = \{2, 3, 4, 5, 6\}$。

$(A^c \cup B)^c = X \setminus (A^c \cup B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \setminus \{2, 3, 4, 5, 6\} = \{1\}$。

3. 最終的な答え

(1)

(a) $\{-3, 5\}$

(b) $\{-1, 0, 15, 80\}$

(c) $\{\emptyset, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}\}$

(2)

(a) 16

(b) $\{\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}, \{1, 2, 3\}, \{1, 2, 4\}, \{1, 3, 4\}, \{2, 3, 4\}\}$

(c) (i) 偽, (ii) 真, (iii) 真, (iv) 偽

(3)

(a) $\{1\}$

(b) $\{1, 2, 3, 4, 6\}$

(c) $\{1\}$

(d) $\{4, 6\}$

(e) $\{1\}$