与えられた命題の真偽を判定し、偽である場合は反例を示す問題です。また、空欄に当てはまる言葉を答える問題です。具体的には以下の3つの命題の真偽を判定します。 (1) $n$ が3の倍数 $\Rightarrow$ $n$ が6の倍数 (2) $x^2 = 16$ $\Rightarrow$ $x = 4$ (3) $n$ は6の倍数 $\Rightarrow$ $n$ は偶数 そして、「$xy \leq 0$」は「$x \geq 0$ かつ $y \leq 0$」であるための、そして「$(x-1)(y-1)=0$」は「$x=1$ または $y=1$」であるための条件について答えます。

1. 問題の内容

与えられた命題の真偽を判定し、偽である場合は反例を示す問題です。また、空欄に当てはまる言葉を答える問題です。具体的には以下の3つの命題の真偽を判定します。

(1) $n$ が3の倍数 $\Rightarrow$ $n$ が6の倍数

(2) $x^2 = 16$ $\Rightarrow$ $x = 4$

(3) $n$ は6の倍数 $\Rightarrow$ $n$ は偶数

そして、「$xy \leq 0$」は「$x \geq 0$ かつ $y \leq 0$」であるための、そして「$(x-1)(y-1)=0$」は「$x=1$ または $y=1$」であるための条件について答えます。

2. 解き方の手順

(1) $n$ が3の倍数 $\Rightarrow$ $n$ が6の倍数

この命題は偽です。$n=3$ は3の倍数ですが、6の倍数ではありません。よって、反例は $n=3$ です。

(2) $x^2 = 16$ $\Rightarrow$ $x = 4$

この命題は偽です。$x=-4$ のとき、$x^2 = 16$ ですが、$x = 4$ ではありません。よって、反例は $x=-4$ です。

(3) $n$ は6の倍数 $\Rightarrow$ $n$ は偶数

この命題は真です。$n$ が6の倍数であるとき、$n = 6k$ （$k$ は整数）と表せます。このとき、$n = 2(3k)$ となり、$n$ は2の倍数、つまり偶数です。

次に、空欄を埋めます。

「$xy \leq 0$」は「$x \geq 0$ かつ $y \leq 0$」であるための条件を考えます。「$xy \leq 0$」は、$x \geq 0$ かつ $y \leq 0$ または $x \leq 0$ かつ $y \geq 0$ を意味します。したがって、「$xy \leq 0$」は「$x \geq 0$ かつ $y \leq 0$」であるための必要条件です。

「$(x-1)(y-1)=0$」は「$x=1$ または $y=1$」であるための条件を考えます。「$(x-1)(y-1)=0$」は、$x-1=0$ または $y-1=0$ を意味するので、$x=1$ または $y=1$ です。したがって、「$(x-1)(y-1)=0$」は「$x=1$ または $y=1$」であるための必要十分条件です。

3. 最終的な答え

(1) 偽, 反例: $n=3$

(2) 偽, 反例: $x=-4$

(3) 真, 反例: なし

「$xy \leq 0$」は「$x \geq 0$ かつ $y \leq 0$」であるための 必要条件である。

「$(x-1)(y-1)=0$」は「$x=1$ または $y=1$」であるための 必要十分条件である。