この問題は、組み合わせ ($nC_r$) の計算、組み合わせの応用問題（ケーキの選び方、コイン投げ、正六角形、果物の選び方、男女の選び方、カードの選び方）です。

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

この問題は、組み合わせ ($nC_r$) の計算、組み合わせの応用問題（ケーキの選び方、コイン投げ、正六角形、果物の選び方、男女の選び方、カードの選び方）です。

2. 解き方の手順

各問題ごとに解き方を説明します。

P.98

5

4. (1) $4C2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

(2) $7C3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(3) $8C3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

(4) $9C4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

(5) $5C1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = 5$

(6) $6C6 = \frac{6!}{6!(6-6)!} = 1$

5

5. 10個のケーキから4個を選ぶ組み合わせなので、$10C4$ を計算します。

$10C4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$

5

6. 6回投げて表が2回出る組み合わせなので、$6C2$ を計算します。

$6C2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

5

7. (1) $6C5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6}{1} = 6$

(2) $9C7 = \frac{9!}{7!(9-7)!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

(3) $11C8 = \frac{11!}{8!(11-8)!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165$

(4) $8C0 = 1$

5

8. (1) 正六角形の頂点から3つを選ぶと三角形ができるので、$6C3$ を計算します。

$6C3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(2) 正六角形の対角線の本数は、頂点の数から2つを選び、隣り合う頂点を選んだ場合を除くことで計算します。

頂点数から2つを選ぶ組み合わせは $6C2 = 15$ 通り。

正六角形の辺の数は6なので、対角線の本数は $15 - 6 = 9$ 本。

P.99

6

1. りんご、なし、かきを含む10種類の果物から5種類を選ぶ場合、まずりんご、なし、かきを選ぶので、残りの7種類から2種類を選びます。

$7C2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

6

2. 男子6人から2人を選ぶ組み合わせは $6C2$。

女子4人から1人を選ぶ組み合わせは $4C1$。

よって、選び方は $6C2 \times 4C1 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 4 = 15 \times 4 = 60$

6

3. 1から11までの数には、偶数が5個（2, 4, 6, 8, 10）、奇数が6個（1, 3, 5, 7, 9, 11）あります。

偶数2枚を選ぶ組み合わせは $5C2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。

奇数3枚を選ぶ組み合わせは $6C3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り。

よって、選び方は $10 \times 20 = 200$ 通り。

3. 最終的な答え

P.98

5

4. (1) 6 (2) 35 (3) 56 (4) 126 (5) 5 (6) 1

5

5. 210通り

5

6. 15通り

5

7. (1) 6 (2) 36 (3) 165 (4) 1

5

8. (1) 20個 (2) 9本

P.99

6

1. 21通り

6

2. 60通り

6

3. 200通り