斜辺の長さが $p$、他の2辺の長さが $q, r$ である直角三角形について、以下の条件を満たすものを考える。 (a) $p, q, r$ は自然数であり、そのうち少なくとも2つは素数である。 (b) $p + q + r = 132$ (1) $q, r$ のどちらかは偶数であることを示す。 (2) $p, q, r$ の組をすべて求める。

1. 問題の内容

斜辺の長さが $p$、他の2辺の長さが $q, r$ である直角三角形について、以下の条件を満たすものを考える。

(a) $p, q, r$ は自然数であり、そのうち少なくとも2つは素数である。

(b) $p + q + r = 132$

(1) $q, r$ のどちらかは偶数であることを示す。

(2) $p, q, r$ の組をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) $q, r$ のどちらかは偶数であることを示す。

$p, q, r$ は直角三角形の辺の長さなので、ピタゴラスの定理より $p^2 = q^2 + r^2$ が成り立つ。

$p + q + r = 132$ より、$p = 132 - (q + r)$。

これを $p^2 = q^2 + r^2$ に代入すると、$(132 - (q + r))^2 = q^2 + r^2$ となる。

展開して整理すると、

$132^2 - 264(q + r) + (q + r)^2 = q^2 + r^2$

$132^2 - 264q - 264r + q^2 + 2qr + r^2 = q^2 + r^2$

$132^2 - 264q - 264r + 2qr = 0$

$2qr = 264(q + r) - 132^2$

$qr = 132(q + r) - 132 \times 66$

$qr = 132(q + r - 66)$

ここで、$q, r$ がともに奇数であると仮定すると、$q + r$ は偶数なので、$q + r - 66$ も偶数となる。

したがって、$qr$ は偶数になる。

しかし、$q, r$ がともに奇数であると仮定したので、$qr$ は奇数となり矛盾する。

よって、$q, r$ のどちらかは偶数である。

(2) $p, q, r$ の組をすべて求める。

$q, r$ のどちらかが偶数なので、ここでは $q$ が偶数であると仮定する。

$q$ は素数であるか、または自然数である。

もし、$q$ が素数であれば、$q = 2$ である。

$p + r = 130$

$p^2 = 4 + r^2$

$p = 130 - r$ より、

$(130 - r)^2 = 4 + r^2$

$130^2 - 260r + r^2 = 4 + r^2$

$16900 - 260r = 4$

$260r = 16896$

$r = 16896 / 260 = 64.98...$

これは自然数ではないので、$q = 2$ の場合は不適。

$p^2 = q^2 + r^2$

$p + q + r = 132$ より、$p = 132 - q - r$

$(132 - q - r)^2 = q^2 + r^2$

$132^2 + q^2 + r^2 - 264q - 264r + 2qr + 264qr = q^2 + r^2$

$132^2 - 264q - 264r + 2qr = 0$

$p, q, r$ の少なくとも2つは素数である。

ここで、$q$が偶数で素数でない場合、$r$が素数である必要がある。

$r = 2$であると仮定する。

$p + q = 130$

$p^2 = q^2 + 4$

$p = 130 - q$

$(130 - q)^2 = q^2 + 4$

$130^2 - 260q + q^2 = q^2 + 4$

$16900 - 260q = 4$

$260q = 16896$

$q = 64.98$ (自然数ではない)

したがって、$r \neq 2$。

$p, r$ が素数であると仮定すると、$p, r$ は奇数である。$p=5, r=3, q=124$は偶数。

$p, q$がともに素数の場合を考える。

$q+r=132-p$.

このとき、$p^2=q^2+r^2$.

$r = 132-p-q$.

$p = 5, q = 3$ のとき $5^2 = 3^2+r^2$ から $r=4$.

$p+q+r=5+3+4 = 12\neq132$なので不適。

$5, 13, 130$

$p=61, q = 60, r = 11$

$p+q+r=132$

$p=61, q=11$ のとき $r=60$.

$61^2 = 11^2 + 60^2$

$3721 = 121 + 3600$

$3721 = 3721$

$p = 61$, $q = 11$ ($r = 60$は偶数) は条件を満たす。

$61, 11, 60$

また、$61, 60, 11$の組み合わせも可能。

3. 最終的な答え

$(p, q, r) = (61, 11, 60), (61, 60, 11)$