与えられた数字2, 3, 4, 5を繰り返し使用して3桁の整数を作る。 (1) 4の倍数となるものは何個あるか？ (2) 6の倍数となるものは何個あるか？ (3) 4でも5でも6でも割り切れない数は何個あるか？

1. 問題の内容

与えられた数字2, 3, 4, 5を繰り返し使用して3桁の整数を作る。

(1) 4の倍数となるものは何個あるか？

(2) 6の倍数となるものは何個あるか？

(3) 4でも5でも6でも割り切れない数は何個あるか？

2. 解き方の手順

(1) 4の倍数になるためには、下2桁が4の倍数である必要があります。下2桁が作れる4の倍数は12, 24, 32, 44, 52の5種類です。百の位には2, 3, 4, 5の4つの数字のいずれも使用できます。したがって、4の倍数は5 * 4 = 20個です。

(2) 6の倍数になるためには、偶数であり、かつ3の倍数である必要があります。

3桁の整数が3の倍数であるためには、各桁の数字の和が3の倍数である必要があります。

使用できる数字は2, 3, 4, 5です。

3桁の整数が偶数であるためには、1の位が2か4である必要があります。

まず、各桁の合計が3の倍数になる場合の数を考えます。

(a) 1の位が2の場合:

百の位 + 十の位 + 2 = 3k (kは整数)となる組み合わせを考えます。

(2, 2, 2) -> 222, 合計6

(2, 3, 4) -> 234, 243, 324, 342, 423,

4

3

2. 合計9

(3, 3, 3) -> 333, 合計9

(4, 4, 4) -> 444, 合計12

(5, 5, 2) -> 合計12

(3, 5, 4) -> 合計12

(b) 1の位が4の場合:

百の位 + 十の位 + 4 = 3k (kは整数)

(2, 3, 4) -> 234, 243, 324, 342, 423,

4

3

2. (3, 3, 3)

(4, 4, 4)

(5, 2) -> 554

(3, 5) ->

ここで全パターンを考えます。

3桁の整数の各桁は2, 3, 4, 5のいずれかであるため、3桁の整数の総数は $4 \times 4 \times 4 = 64$個です。

次に、6の倍数となる数を数えます。

下1桁が2の場合：

222 (2+2+2=6), 232 (2+3+2=7), 242 (2+4+2=8), 252 (2+5+2=9)

322 (3+2+2=7), 332 (3+3+2=8), 342 (3+4+2=9), 352 (3+5+2=10)

422 (4+2+2=8), 432 (4+3+2=9), 442 (4+4+2=10), 452 (4+5+2=11)

522 (5+2+2=9), 532 (5+3+2=10), 542 (5+4+2=11), 552 (5+5+2=12)

下1桁が4の場合：

224 (2+2+4=8), 234 (2+3+4=9), 244 (2+4+4=10), 254 (2+5+4=11)

324 (3+2+4=9), 334 (3+3+4=10), 344 (3+4+4=11), 354 (3+5+4=12)

424 (4+2+4=10), 434 (4+3+4=11), 444 (4+4+4=12), 454 (4+5+4=13)

524 (5+2+4=11), 534 (5+3+4=12), 544 (5+4+4=13), 554 (5+5+4=14)

6の倍数は、各桁の和が3の倍数で、かつ1の位が偶数のものなので、

222, 252, 342, 432, 522, 552, 234, 324, 354, 444, 534

合計11個。

(3) 4でも5でも6でも割り切れない数を求めます。

まず、3桁の整数の総数は、$4 \times 4 \times 4 = 64$です。

4の倍数は20個。

5の倍数は、1の位が5の数です。なので$4 \times 4 \times 1 = 16$個。

6の倍数は11個。

4の倍数または5の倍数または6の倍数となるものの数を求める必要があります。

4の倍数かつ5の倍数は、下2桁が20, 40, 50であり、かつ下2桁が4の倍数であるものです。該当するのはなしです。

4の倍数かつ6の倍数は、4の倍数かつ3の倍数かつ偶数の数です。4の倍数かつ偶数は4の倍数なので、4の倍数かつ3の倍数の数を求めます。

6の倍数かつ5の倍数はありません。

4の倍数となるもの:20個

5の倍数となるもの:16個

6の倍数となるもの:11個

合計すると47個。

20 + 16 + 11 - (4の倍数かつ5の倍数) - (4の倍数かつ6の倍数) - (5の倍数かつ6の倍数) + (4, 5, 6すべての倍数)

= 20+16+11 - 0 - X - 0 + 0

X = 0

64 - (20 + 16 + 11)= 64 - 47 = 17

合計は17個

3. 最終的な答え

(1) 20個

(2) 11個

(3) 17個