問題は以下の2つに分かれています。 (1) 10円硬貨6枚、100円硬貨4枚、500円硬貨2枚の合計12枚の硬貨の中から1枚以上を使って支払える金額は何通りあるか。 (2) 上記の硬貨に50円硬貨1枚を加えた13枚の硬貨の中から1枚以上を使って支払える金額は何通りあるか。

1. 問題の内容

問題は以下の2つに分かれています。

(1) 10円硬貨6枚、100円硬貨4枚、500円硬貨2枚の合計12枚の硬貨の中から1枚以上を使って支払える金額は何通りあるか。

(2) 上記の硬貨に50円硬貨1枚を加えた13枚の硬貨の中から1枚以上を使って支払える金額は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 10円硬貨、100円硬貨、500円硬貨それぞれについて、使える枚数を考えます。

- 10円硬貨は0枚から6枚まで使えるので、7通り。

- 100円硬貨は0枚から4枚まで使えるので、5通り。

- 500円硬貨は0枚から2枚まで使えるので、3通り。

これらの組み合わせの総数は、$7 \times 5 \times 3 = 105$ 通りです。

ただし、これは1枚も使わない場合（すべて0枚）を含んでいます。問題文は「1枚以上使って」となっているので、この場合を除外する必要があります。

したがって、$105 - 1 = 104$ 通り。

(2) 上記に50円硬貨1枚を加えた場合を考えます。

- 10円硬貨は0枚から6枚まで使えるので、7通り。

- 50円硬貨は0枚または1枚使えるので、2通り。

- 100円硬貨は0枚から4枚まで使えるので、5通り。

- 500円硬貨は0枚から2枚まで使えるので、3通り。

これらの組み合わせの総数は、$7 \times 2 \times 5 \times 3 = 210$ 通りです。

同様に、1枚も使わない場合を除外します。

したがって、$210 - 1 = 209$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 104通り

(2) 209通り