7個の数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7から異なる3個の数字を選んで3桁の整数を作る。 (1) そのような整数は全部で何個あるか。 (2) その中で、偶数は何個あるか。 (3) 345以上の整数は何個あるか。 (4) これらの整数を小さいものから順番に並べたとき、第67番目にある整数は何か。

はい、承知いたしました。問題3について回答します。

1. 問題の内容

7個の数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7から異なる3個の数字を選んで3桁の整数を作る。

(1) そのような整数は全部で何個あるか。

(2) その中で、偶数は何個あるか。

(3) 345以上の整数は何個あるか。

(4) これらの整数を小さいものから順番に並べたとき、第67番目にある整数は何か。

2. 解き方の手順

(1) 3桁の整数を作る総数

百の位、十の位、一の位にそれぞれ異なる数字を選ぶので、

$7 \times 6 \times 5 = 210$ (個)

(2) 偶数の個数

一の位が偶数である必要がある。一の位が2, 4, 6のいずれかである場合を考える。

(a) 一の位が2, 4, 6の場合：3通り

百の位は一の位以外の6通り、十の位は百の位と一の位以外の5通り。

したがって、 $3 \times 6 \times 5 = 90$ (個)

(3) 345以上の整数の個数

百の位が3, 4, 5, 6, 7の場合を考える。

(a) 百の位が3の場合：345, 346, 347, 354, 356, 357, 364, 365, 367, 374, 375, 376の12個

しかし、百の位が3の場合、345以上のものは345, 346, 347, 354, 356, 357, 364, 365, 367, 374, 375, 376。

なので、百の位が3で、条件を満たすのは、

345:1

346:1

347:1

35x:5

36x:5

37x:5

合計:1 + 1 + 1 + 5 + 5 + 5 = 18

(b) 百の位が4, 5, 6, 7の場合：

百の位が4, 5, 6, 7のいずれかの場合、十の位は6通り、一の位は5通り。

したがって、$4 \times 6 \times 5 = 120$ (個)

百の位が3で345以上の整数は $4\times5 = 12$

よって、合計 $12+120 = 132$

(4) 67番目の整数

100番台：$6 \times 5 = 30$ 個

200番台：$6 \times 5 = 30$ 個

300番台：$6 \times 5 = 30$ 個

100番台と200番台で60個あるので、67番目は300番台。

312, 314, 315, 316, 317

321, 324, 325, 326, 327

...

312から数えて7番目。

312, 314, 315, 316, 317, 321, 324

61番目：312

62番目：314

63番目：315

64番目：316

65番目：317

66番目：321

67番目：324

3. 最終的な答え

(1) 210個

(2) 90個

(3) 132個

(4) 324