与えられた複数の数を小さい順に並べる問題です。 (1) $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt[4]{8}$, $\sqrt{3}$ (2) $\frac{2}{3} + \log_8 7$, 1.5, $\log_2 3$

1. 問題の内容

与えられた複数の数を小さい順に並べる問題です。

(1) $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt[4]{8}$, $\sqrt{3}$

(2) $\frac{2}{3} + \log_8 7$, 1.5, $\log_2 3$

2. 解き方の手順

(1) それぞれの数を同じ累乗根の形で表して比較します。今回は12乗根で表します。

$\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{4}{12}} = \sqrt[12]{5^4} = \sqrt[12]{625}$

$\sqrt[4]{8} = 8^{\frac{1}{4}} = 8^{\frac{3}{12}} = \sqrt[12]{8^3} = \sqrt[12]{512}$

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{6}{12}} = \sqrt[12]{3^6} = \sqrt[12]{729}$

したがって、$\sqrt[12]{512} < \sqrt[12]{625} < \sqrt[12]{729}$ なので、

$\sqrt[4]{8} < \sqrt[3]{5} < \sqrt{3}$となります。

(2) それぞれの数を評価します。

$\frac{2}{3} + \log_8 7$

$\log_8 7$ は $\log_8 8 = 1$ より少し小さい値です。$8^{2/3} = 4 < 7 < 8 = 8^1$ なので $2/3 < \log_8 7 < 1$ であることがわかります。

したがって、$2/3 + \log_8 7$ は $2/3 + 2/3 = 4/3$ より大きく $2/3 + 1 = 5/3$ より小さい値です。つまり、$1.333... < \frac{2}{3} + \log_8 7 < 1.666...$となります。

$\log_2 3$

$\log_2 2 = 1$、$\log_2 4 = 2$ なので、$1 < \log_2 3 < 2$ となります。$2^{3/2} = \sqrt{8} > \sqrt{9} = 3$ なので $\log_2 3 < 1.5$となります。

$2^{5/3} = 2 \sqrt[3]{4} > 2 > 3$は成り立たないので、$\log_2 3 > 5/3 \approx 1.666...$とは言えません。

正確な値を計算してみます。

$\frac{2}{3} + \log_8 7 = \frac{2}{3} + \frac{\log_2 7}{\log_2 8} = \frac{2}{3} + \frac{\log_2 7}{3} = \frac{2 + \log_2 7}{3}$

$\log_2 7$ は $2^2 = 4 < 7 < 8 = 2^3$ なので、$2 < \log_2 7 < 3$となります。

$2^{2.8} = 6.964... < 7 < 7.297... = 2^{2.86}$ なので $\log_2 7 \approx 2.8$となります。

$\frac{2}{3} + \log_8 7 \approx \frac{2 + 2.8}{3} = \frac{4.8}{3} = 1.6$

$1.5 < \log_2 3 < 2$ なので $1.5 < \log_2 3$は正しいです。

$\log_2 3 \approx 1.585$ なので、$1.5 < \log_2 3$

したがって、$\frac{2}{3} + \log_8 7$, 1.5, $\log_2 3$ の大小関係は、$1.5 < \log_2 3 < \frac{2}{3} + \log_8 7$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt[4]{8}, \sqrt[3]{5}, \sqrt{3}$

(2) $1.5, \log_2 3, \frac{2}{3} + \log_8 7$