問題68: 9人の生徒を、(1) 5人と4人の2組に分ける分け方は何通りあるか。(2) 4人、3人、2人の3組に分ける分け方は何通りあるか。 問題69: 6人の生徒を、(1) 3人ずつA, Bの2組に分ける分け方は何通りあるか。(2) 3人ずつ2組に分ける分け方は何通りあるか。 問題70: 9人の生徒を、(1) 3人ずつA, B, Cの3組に分ける分け方は何通りあるか。(2) 3人ずつ3組に分ける分け方は何通りあるか。 問題71: 9人の生徒を、5人、2人、2人の3組に分ける分け方は何通りあるか。

回答します。

1. 問題の内容

問題68: 9人の生徒を、(1) 5人と4人の2組に分ける分け方は何通りあるか。(2) 4人、3人、2人の3組に分ける分け方は何通りあるか。

問題69: 6人の生徒を、(1) 3人ずつA, Bの2組に分ける分け方は何通りあるか。(2) 3人ずつ2組に分ける分け方は何通りあるか。

問題70: 9人の生徒を、(1) 3人ずつA, B, Cの3組に分ける分け方は何通りあるか。(2) 3人ずつ3組に分ける分け方は何通りあるか。

問題71: 9人の生徒を、5人、2人、2人の3組に分ける分け方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

問題68

(1) 9人から5人を選ぶ組み合わせを計算します。残りの4人は自動的に決まります。

組み合わせの公式は $nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ です。

$9C5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ 通り

(2) 9人から4人を選び、次に残った5人から3人を選び、最後に残った2人から2人を選びます。

$9C4 \times 5C3 \times 2C2 = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = 126 \times 10 \times 1 = 1260$ 通り

問題69

(1) 6人から3人を選び、残りの3人をB組とします。ただし、AとBの区別があるので、組み合わせの数を計算します。

$6C3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り

(2) 6人から3人を選び、残りの3人でもう1組を作ります。ただし、組の区別がないので、2で割ります。

$\frac{6C3}{2} = \frac{20}{2} = 10$ 通り

問題70

(1) 9人から3人を選び、次に残った6人から3人を選び、最後に残った3人から3人を選びます。

$9C3 \times 6C3 \times 3C3 = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = 84 \times 20 \times 1 = 1680$ 通り

(2) 9人から3人を選び、次に残った6人から3人を選び、最後に残った3人から3人を選びます。ただし、組の区別がないので、3!で割ります。

$\frac{9C3 \times 6C3 \times 3C3}{3!} = \frac{1680}{6} = 280$ 通り

問題71

9人から5人を選び、残りの4人から2人を選び、最後に残った2人から2人を選びます。ただし、2人の組は区別がないので、2!で割ります。

$\frac{9C5 \times 4C2 \times 2C2}{2!} = \frac{126 \times 6 \times 1}{2} = \frac{756}{2} = 378$ 通り

3. 最終的な答え

問題68: (1) 126通り (2) 1260通り

問題69: (1) 20通り (2) 10通り

問題70: (1) 1680通り (2) 280通り

問題71: 378通り