白球5個と赤球4個が入っている袋から、同時に3個の球を取り出すとき、次の確率を求めます。 (1) 3個とも白球である確率 (2) 2個が白球で、1個が赤球である確率

はい、承知いたしました。問題文を読んで、一つずつ丁寧に解いていきましょう。

**問題92**

1. 問題の内容

白球5個と赤球4個が入っている袋から、同時に3個の球を取り出すとき、次の確率を求めます。

(1) 3個とも白球である確率

(2) 2個が白球で、1個が赤球である確率

2. 解き方の手順

(1) 3個とも白球である確率

まず、袋から3個の球を取り出す場合の総数を求めます。

これは、9個の球から3個を選ぶ組み合わせなので、$_9C_3$で計算できます。

$_9C_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

次に、3個とも白球である場合の数を求めます。

これは、5個の白球から3個を選ぶ組み合わせなので、$_5C_3$で計算できます。

$_5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、3個とも白球である確率は、

$P(\text{3個とも白球}) = \frac{\text{3個とも白球の場合の数}}{\text{3個の球を取り出す場合の総数}} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42}$

(2) 2個が白球で、1個が赤球である確率

2個が白球である場合の数は、5個の白球から2個を選ぶ組み合わせなので、$_5C_2$で計算できます。

$_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

1個が赤球である場合の数は、4個の赤球から1個を選ぶ組み合わせなので、$_4C_1$で計算できます。

$_4C_1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = 4$

したがって、2個が白球で1個が赤球である場合の数は、$_5C_2 \times _4C_1 = 10 \times 4 = 40$

2個が白球で、1個が赤球である確率は、

$P(\text{2個が白球、1個が赤球}) = \frac{\text{2個が白球、1個が赤球の場合の数}}{\text{3個の球を取り出す場合の総数}} = \frac{40}{84} = \frac{10}{21}$

3. 最終的な答え

(1) 3個とも白球である確率: $\frac{5}{42}$

(2) 2個が白球で、1個が赤球である確率: $\frac{10}{21}$