サイコロを投げて出た目をSとする。 Sの値によって変数Xを以下のように定める。 - $S \le 10$のとき、$X=1$ - $S = 11$のとき、$b \ne c$ならば$X=2$, $b=c$ならば$X=3$。ただし，$b, c$ はそれぞれ独立に1から6までの整数をとる。 - $S \ge 12$のとき、$X=0$ このとき、$X=1$となる確率、$X=3$となる確率、およびXの期待値を求める。

1. 問題の内容

サイコロを投げて出た目をSとする。

Sの値によって変数Xを以下のように定める。

- $S \le 10$のとき、$X=1$

- $S = 11$のとき、$b \ne c$ならば$X=2$, $b=c$ならば$X=3$。ただし，$b, c$ はそれぞれ独立に1から6までの整数をとる。

- $S \ge 12$のとき、$X=0$

このとき、$X=1$となる確率、$X=3$となる確率、およびXの期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $X=1$となる確率を求める。

$S \le 10$となるのは、$S=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ の場合である。

サイコロの目が$1, 2, 3, 4, 5, 6$である確率はそれぞれ$\frac{1}{6}$なので、$S \le 10$となる確率は$\frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ と計算できない。

大小関係S≤10は、サイコロが２つなのか、１つなのかで計算が変わる。

問題文にサイコロが１つか２つかの記述がないため、サイコロが２つであるとして考える。

２つのサイコロの目の合計Sの範囲は2から12なので、合計がS≤10となる確率を計算する。

全事象は$6 \times 6 = 36$通り。

S=2になるのは(1,1)の1通り。

S=3になるのは(1,2), (2,1)の2通り。

S=4になるのは(1,3), (2,2), (3,1)の3通り。

S=5になるのは(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)の4通り。

S=6になるのは(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)の5通り。

S=7になるのは(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)の6通り。

S=8になるのは(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)の5通り。

S=9になるのは(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)の4通り。

S=10になるのは(4,6), (5,5), (6,4)の3通り。

したがって、S≤10となる確率は $\frac{1+2+3+4+5+6+5+4+3}{36} = \frac{33}{36} = \frac{11}{12}$

(2) $X=3$となる確率を求める。

$S = 11$ かつ $b = c$となる場合なので、まず$S = 11$となる確率を求める。

S=11になるのは(5,6), (6,5)の2通り。したがってS=11となる確率は $\frac{2}{36} = \frac{1}{18}$。

$b = c$となる確率は$b$が1から6のどれかの値をとるとき、$c$も同じ値をとる確率なので$\frac{1}{6}$。

したがって、$S = 11$ かつ $b = c$ となる確率は $\frac{1}{18} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{108}$

(3) $X=0$となる確率を求める。

S≥12となる確率を求める。

S=12になるのは(6,6)の1通り。

したがってS≥12となる確率は$\frac{1}{36}$。

(4) $X=2$となる確率を求める。

$S = 11$ かつ $b \ne c$となる場合を考える。

S=11となる確率は$\frac{1}{18}$。

$b \ne c$となる確率は$1 - b = c$となる確率$= 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$。

したがって$S = 11$ かつ $b \ne c$となる確率は $\frac{1}{18} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{108}$

(5) Xの期待値を計算する。

$E[X] = 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3) + 0 \times P(X=0)$

$P(X=1) = \frac{11}{12}$

$P(X=2) = \frac{5}{108}$

$P(X=3) = \frac{1}{108}$

$P(X=0) = \frac{1}{36} = \frac{3}{108}$

$E[X] = 1 \times \frac{11}{12} + 2 \times \frac{5}{108} + 3 \times \frac{1}{108} + 0 \times \frac{3}{108}$

$E[X] = \frac{11}{12} + \frac{10}{108} + \frac{3}{108} = \frac{11}{12} + \frac{13}{108} = \frac{99}{108} + \frac{13}{108} = \frac{112}{108} = \frac{28}{27}$

$X=1$となる確率は$\frac{11}{12}$。

$X=3$となる確率は$\frac{1}{108}$。

Xの期待値は$\frac{28}{27}$。

3. 最終的な答え

X=1となる確率は タ/チツ = 11/12

X=3となる確率は テ/トナ = 1/108

Xの期待値は ニヌ/ネノ = 28/27