箱Eと箱Fからそれぞれ2つの球を取り出し、取り出した球に書かれた数を$a, b, c, d$とする。$S=a+b+c+d$とする。XはSの値とbとcの大小関係によって決まる。 $S \le 10$のとき$X=1$ $S = 11$のとき、$b \ne c$ならば$X=2$, $b = c$ならば$X=3$ $S \ge 12$のとき$X=0$ $X=1$となる確率、$X=3$となる確率、Xの期待値を求める。

1. 問題の内容

箱Eと箱Fからそれぞれ2つの球を取り出し、取り出した球に書かれた数を$a, b, c, d$とする。$S=a+b+c+d$とする。XはSの値とbとcの大小関係によって決まる。

$S \le 10$のとき$X=1$

$S = 11$のとき、$b \ne c$ならば$X=2$, $b = c$ならば$X=3$

$S \ge 12$のとき$X=0$

$X=1$となる確率、$X=3$となる確率、Xの期待値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$a, b, c, d$の取りうる組み合わせを考える。

箱Eからは4個の球から2個を取り出すので、 $4 \times 3 = 12$通りの取り出し方がある。

箱Fからは3個の球から2個を取り出すので、$3 \times 2 = 6$通りの取り出し方がある。

したがって、$a, b, c, d$の組み合わせは、$12 \times 6 = 72$通りある。

$X=1$となるのは、$S \le 10$のときである。

$S=a+b+c+d \le 10$となる$(a,b,c,d)$の組み合わせを考える。

$a+b, c+d$の組み合わせを考えて、

$a+b=3$の時、$c+d=1+3=4, 1+5=6$なので $c+d \le 7$となる。組み合わせは$(1,2), (2,1)$と$(1,3), (3,1), (1,5), (5,1)$で、$S\le10$。

$a+b=4$の時、$c+d=1+3=4, 1+5=6$なので $c+d \le 6$となる。組み合わせは$(1,3), (3,1), (1,5), (5,1)$で、$S\le10$。

$a+b=5$の時、$c+d=1+3=4, 1+5=6$なので $c+d \le 5$となる。組み合わせは$(1,3), (3,1)$で、$S\le10$。

$a+b=6$の時、$c+d=1+3=4, 1+5=6$なので $c+d \le 4$となる。組み合わせは$(1,3), (3,1)$で、$S\le10$。

$a+b=7$の時、$c+d=1+3=4, 1+5=6$なので $c+d \le 3$となる。組み合わせはない。

$a+b = 3: (1,2), (2,1)$の2通り

$a+b = 4: (1,3), (3,1)$の2通り

$a+b = 5: (1,4), (4,1), (2,3), (3,2)$の4通り

$a+b = 6: (2,4), (4,2), (3,3)$の3通り

$a+b = 7: (3,4), (4,3)$の2通り

$a+b = 1+2 = 3, c+d = 1+3=4, 1+5=6$. 組み合わせは $(1,2)(1,3)=1, (1,2)(3,1)=1, (1,2)(1,5)=0, (1,2)(5,1)=0, (2,1)(1,3)=1, (2,1)(3,1)=1, (2,1)(1,5)=0, (2,1)(5,1)=0$.

$a+b+c+d \le 10$となる組み合わせの数は、$(a,b)$が2通りのとき$(c,d)$は$(1,3), (3,1), (1,5), (5,1)$の4通りなので8通り。

$(a,b)$が2通りのとき$(c,d)$は$(1,3), (3,1), (1,5), (5,1)$の4通りなので8通り。

$(a,b)$が4通りのとき$(c,d)$は$(1,3), (3,1)$の2通りなので8通り。

$(a,b)$が3通りのとき$(c,d)$は$(1,3), (3,1)$の2通りなので6通り。

$8+8+8+6=30$通り

したがって、$X=1$となる確率は$\frac{30}{72}=\frac{5}{12}$

$X=3$となるのは、$S=11$かつ$b=c$のときである。

$S=11$となるのは、$(a+b, c+d)$が$(5,6), (6,5), (7,4), (8,3)$

$a+b=5$となる$(a,b)$は$(1,4), (4,1), (2,3), (3,2)$. $c+d=6$となる$(c,d)$は$(1,5), (5,1)$.

$a+b=6$となる$(a,b)$は$(2,4), (4,2), (3,3)$. $c+d=5$となる$(c,d)$は$(1,3), (3,1)$.

$a+b=7$となる$(a,b)$は$(3,4), (4,3)$. $c+d=4$となる$(c,d)$は$(1,3), (3,1)$.

$a+b=8$となる$(a,b)$は$(4,4)$はない.

$S=11$となる$(a,b,c,d)$は、

(1,4,1,5), (1,4,5,1), (4,1,1,5), (4,1,5,1), (2,3,1,5), (2,3,5,1), (3,2,1,5), (3,2,5,1),

(2,4,1,3), (2,4,3,1), (4,2,1,3), (4,2,3,1), (3,3,1,3), (3,3,3,1),

(3,4,1,3), (3,4,3,1), (4,3,1,3), (4,3,3,1).

b=cとなるのは、

b=1, c=1はない

b=4, c=1はない

b=3, c=1はない

b=2, c=1はない

b=4, c=3はない

b=2, c=3はない

b=3, c=3の場合のみ(3,3,3,1)

(3,3)(3,1)=1なので1/72

$(a,b)=(3,3)$なので$a+b=6$. $c+d=5$なので$(1,3),(3,1)$.$b=3, c=1$.

$(a, b, c, d) = (3, 3, 3, 1)$, $S = 10$, $X=1$

X=3となるのは(3,3,3,1)だけなので$1/72$

S=12以上となるのは、

(4,3)(5,1), (4,3)(1,5)

(4,4)はない

(3,4)(5,1), (3,4)(1,5)

$X=1$となる確率は$\frac{5}{12}=\frac{30}{72}$

$X=3$となる確率は$\frac{0}{72}=0$

Xの期待値は、$1 \times \frac{30}{72}+ 2 \times \frac{?}{72}+ 3 \times \frac{0}{72}+0 \times \frac{?}{72} = \frac{30+2*(72-30)}{72}$

3. 最終的な答え

X=1 となる確率は 5/12

X=3 となる確率は 0

Xの期待値は 15/36 = 5/12

タ: 5

チツ: 12

テ: 0

トナ: 72

ニヌ: 5

ネノ: 12