正六角形ABCDEFにおいて、辺DEを2:1に内分する点をPとする。線分APとBFの交点をQとするとき、ベクトル$\overrightarrow{AQ}$をベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AF}$を用いて表す。

1. 問題の内容

正六角形ABCDEFにおいて、辺DEを2:1に内分する点をPとする。線分APとBFの交点をQとするとき、ベクトル$\overrightarrow{AQ}$をベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AF}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、点PがDEを2:1に内分することから、$\overrightarrow{AP}$を$\overrightarrow{AD}$と$\overrightarrow{AE}$で表す。

$\overrightarrow{AP} = \frac{1\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AE}}{2+1} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AE}$

次に、正六角形の性質を利用して、$\overrightarrow{AD}$と$\overrightarrow{AE}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AF}$で表す。

$\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AF}$

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF}$

したがって、$\overrightarrow{AP}$は

$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{3}(2\overrightarrow{AF}) + \frac{2}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF}) = \frac{2}{3}\overrightarrow{AF} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AF} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AF}$

点Qは線分AP上にあるので、実数sを用いて、

$\overrightarrow{AQ} = s\overrightarrow{AP} = s(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AF}) = \frac{2s}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{4s}{3}\overrightarrow{AF}$

点Qは線分BF上にあるので、実数tを用いて、

$\overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AB} + t(\overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AB}) = (1-t)\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AF}$

$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AF}$は一次独立なので、係数を比較して、

$\frac{2s}{3} = 1-t$

$\frac{4s}{3} = t$

この連立方程式を解くと、

$\frac{2s}{3} = 1 - \frac{4s}{3}$

$2s = 3 - 4s$

$6s = 3$

$s = \frac{1}{2}$

$t = \frac{4}{3}s = \frac{4}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$

$\overrightarrow{AQ} = \frac{2s}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{4s}{3}\overrightarrow{AF} = \frac{2(1/2)}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{4(1/2)}{3}\overrightarrow{AF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AF}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AF}$