$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $2:3$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $3:1$ に内分する点を $D$ とし、線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ とするとき、$\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $2:3$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $3:1$ に内分する点を $D$ とし、線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ とするとき、$\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ が線分 $AD$ 上にあることから、実数 $s$ を用いて

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OD}$

と表せる。また、点 $P$ が線分 $BC$ 上にあることから、実数 $t$ を用いて

$\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC}$

と表せる。

ここで、$\overrightarrow{OC} = \frac{2}{5}\overrightarrow{OA} = \frac{2}{5}\vec{a}$、$\overrightarrow{OD} = \frac{3}{4}\overrightarrow{OB} = \frac{3}{4}\vec{b}$ であるから、

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\vec{a} + s(\frac{3}{4}\vec{b}) = (1-s)\vec{a} + \frac{3}{4}s\vec{b}$

$\overrightarrow{OP} = (1-t)\vec{b} + t(\frac{2}{5}\vec{a}) = \frac{2}{5}t\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$1-s = \frac{2}{5}t$

$\frac{3}{4}s = 1-t$

この連立方程式を解くと、

$s = \frac{8}{11}$, $t = \frac{15}{11}$

したがって、

$\overrightarrow{OP} = (1-\frac{8}{11})\vec{a} + \frac{3}{4}(\frac{8}{11})\vec{b}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{11}\vec{a} + \frac{6}{11}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{11}\vec{a} + \frac{6}{11}\vec{b}$