$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $2:3$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $3:1$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とする。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$ とするとき、$\vec{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $2:3$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $3:1$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とする。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$ とするとき、$\vec{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

$P$ は線分 $AD$ 上にあるので、$s$ を実数として

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD} = (1-s)\vec{a} + s\frac{3}{4}\vec{b}$

と表せる。

また、$P$ は線分 $BC$ 上にあるので、$t$ を実数として

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OC} = (1-t)\vec{b} + t\frac{2}{5}\vec{a}$

と表せる。

したがって、

$(1-s)\vec{a} + \frac{3}{4}s\vec{b} = \frac{2}{5}t\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$1-s = \frac{2}{5}t$

$\frac{3}{4}s = 1-t$

この連立方程式を解く。

$s = 1-\frac{2}{5}t$ を $\frac{3}{4}s = 1-t$ に代入すると、

$\frac{3}{4}(1-\frac{2}{5}t) = 1-t$

$\frac{3}{4} - \frac{6}{20}t = 1 - t$

$\frac{3}{4} - \frac{3}{10}t = 1 - t$

$t - \frac{3}{10}t = 1 - \frac{3}{4}$

$\frac{7}{10}t = \frac{1}{4}$

$t = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$

$s = 1 - \frac{2}{5}t = 1 - \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{14} = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$

したがって、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{a} + s\frac{3}{4}\vec{b} = (1-\frac{6}{7})\vec{a} + \frac{6}{7}\cdot \frac{3}{4}\vec{b} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{9}{14}\vec{b}$

または、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{b} + t\frac{2}{5}\vec{a} = (1-\frac{5}{14})\vec{b} + \frac{5}{14}\cdot \frac{2}{5}\vec{a} = \frac{9}{14}\vec{b} + \frac{1}{7}\vec{a} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{9}{14}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{9}{14}\vec{b}$