$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $2:3$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $3:1$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とし、$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$ とする。 $OP$ の延長と $AB$ の交点を $Q$ とするとき、以下の比を求める。 (i) $AQ:QB$ (ii) $OP:PQ$

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $2:3$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $3:1$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とし、$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$ とする。 $OP$ の延長と $AB$ の交点を $Q$ とするとき、以下の比を求める。

(i) $AQ:QB$

(ii) $OP:PQ$

2. 解き方の手順

(i)

まず、点 $P$ は線分 $AD$ 上にあるので、$s$ を実数として、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD} = (1-s)\vec{a} + s\frac{3}{4}\vec{b}$

と表せる。

また、点 $P$ は線分 $BC$ 上にあるので、$t$ を実数として、

$\vec{OP} = t\vec{OC} + (1-t)\vec{OB} = t\frac{2}{5}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

と表せる。

したがって、

$(1-s)\vec{a} + \frac{3}{4}s\vec{b} = \frac{2}{5}t\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$1-s = \frac{2}{5}t$

$\frac{3}{4}s = 1-t$

この連立方程式を解くと、$s = \frac{8}{11}$, $t = \frac{15}{11}$

よって、

$\vec{OP} = (1 - \frac{8}{11})\vec{a} + \frac{8}{11} \times \frac{3}{4}\vec{b} = \frac{3}{11}\vec{a} + \frac{6}{11}\vec{b} = \frac{3}{11}(\vec{a} + 2\vec{b})$

次に、点 $Q$ は線分 $OP$ 上にあるので、$k$ を実数として、

$\vec{OQ} = k\vec{OP} = \frac{3k}{11}(\vec{a} + 2\vec{b})$

また、点 $Q$ は線分 $AB$ 上にあるので、$l$ を実数として、

$\vec{OQ} = (1-l)\vec{OA} + l\vec{OB} = (1-l)\vec{a} + l\vec{b}$

したがって、

$\frac{3k}{11}\vec{a} + \frac{6k}{11}\vec{b} = (1-l)\vec{a} + l\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$\frac{3k}{11} = 1-l$

$\frac{6k}{11} = l$

この連立方程式を解くと、$k = \frac{11}{9}$, $l = \frac{2}{3}$

$\vec{OQ} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

よって、$AQ:QB = 2:1$

(ii)

$\vec{OP} = \frac{3}{11}(\vec{a} + 2\vec{b})$

$\vec{OQ} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

$OP:PQ = |\vec{OP}| : |\vec{OQ}-\vec{OP}|$ ではなく、$\vec{OP}$と$\vec{PQ}$の比を求めるので

$\vec{OP} = \frac{3}{11}(\vec{a} + 2\vec{b})$

$\vec{OQ} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} = \frac{11}{9}\vec{OP}$

$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \frac{11}{9}\vec{OP} - \vec{OP} = \frac{2}{9}\vec{OP}$

$\vec{OP} : \vec{PQ} = 1 : \frac{2}{9} = 9 : 2$

よって、$OP:PQ = 9:2$

3. 最終的な答え

(i) $AQ:QB = 2:1$

(ii) $OP:PQ = 9:2$