(a) $z_i = (x_i - \bar{x}) / \sigma_x$ の平均を求める問題。 (b) $w_i = (y_i - \bar{y}) / \sigma_y$ と定義したとき、$z$ と $w$ の共分散 $s_{zw}$ を $x$ と $y$ の相関係数 $r_{xy}$ を用いて表す問題。

1. 問題の内容

(a) $z_i = (x_i - \bar{x}) / \sigma_x$ の平均を求める問題。

(b) $w_i = (y_i - \bar{y}) / \sigma_y$ と定義したとき、$z$ と $w$ の共分散 $s_{zw}$ を $x$ と $y$ の相関係数 $r_{xy}$ を用いて表す問題。

2. 解き方の手順

(a) $z_i$ の平均を計算します。

$\bar{z} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} z_i = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{x_i - \bar{x}}{\sigma_x} = \frac{1}{N\sigma_x} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})$

ここで、$\sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x}) = \sum_{i=1}^{N} x_i - \sum_{i=1}^{N} \bar{x} = \sum_{i=1}^{N} x_i - N\bar{x} = N\bar{x} - N\bar{x} = 0$

したがって、$\bar{z} = \frac{1}{N\sigma_x} \times 0 = 0$

(b) $z$ と $w$ の共分散 $s_{zw}$ を計算します。

$s_{zw} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (z_i - \bar{z})(w_i - \bar{w})$

(a) の結果より $\bar{z} = 0$ であり、同様に考えると $\bar{w}=0$ です。よって、

$s_{zw} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} z_i w_i = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{x_i - \bar{x}}{\sigma_x} \frac{y_i - \bar{y}}{\sigma_y} = \frac{1}{N \sigma_x \sigma_y} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$

ここで、$x$ と $y$ の共分散 $s_{xy}$ は $s_{xy} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ であり、$x$ と $y$ の相関係数 $r_{xy}$ は $r_{xy} = \frac{s_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}$ と定義されるので、$s_{xy} = r_{xy} \sigma_x \sigma_y$ が成り立ちます。

したがって、$s_{zw} = \frac{1}{\sigma_x \sigma_y} s_{xy} = \frac{1}{\sigma_x \sigma_y} r_{xy} \sigma_x \sigma_y = r_{xy}$

3. 最終的な答え

(a) 3

(b) 1