四面体ABCDにおいて、A, B, C, Dの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$で与えられている。辺ABを2:1に内分する点をP, 辺CDを3:1に内分する点をQとする。線分PQの中点Mの位置ベクトル$\vec{m}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$で表す。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、A, B, C, Dの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$で与えられている。辺ABを2:1に内分する点をP, 辺CDを3:1に内分する点をQとする。線分PQの中点Mの位置ベクトル$\vec{m}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$で表す。

2. 解き方の手順

まず、点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表す。Pは線分ABを2:1に内分する点なので、内分点の公式より

$\vec{p} = \frac{1\vec{a} + 2\vec{b}}{2+1} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

次に、点Qの位置ベクトル$\vec{q}$を$\vec{c}$と$\vec{d}$で表す。Qは線分CDを3:1に内分する点なので、内分点の公式より

$\vec{q} = \frac{1\vec{c} + 3\vec{d}}{3+1} = \frac{1}{4}\vec{c} + \frac{3}{4}\vec{d}$

最後に、点Mの位置ベクトル$\vec{m}$を$\vec{p}$と$\vec{q}$で表す。Mは線分PQの中点なので、中点の公式より

$\vec{m} = \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2}$

$\vec{p}$と$\vec{q}$を代入すると

$\vec{m} = \frac{(\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}) + (\frac{1}{4}\vec{c} + \frac{3}{4}\vec{d})}{2} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{8}\vec{c} + \frac{3}{8}\vec{d}$

3. 最終的な答え

$\vec{m} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{8}\vec{c} + \frac{3}{8}\vec{d}$