点 A(-1, 3, 1) と点 B(0, 2, 3) を通る直線 $l$ に、原点 O から下ろした垂線 OH の足 H の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

点 A(-1, 3, 1) と点 B(0, 2, 3) を通る直線 $l$ に、原点 O から下ろした垂線 OH の足 H の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

* まず、直線 $l$ の方向ベクトル $\vec{d}$ を求めます。これは、$\vec{AB}$ で与えられます。

$\vec{d} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 0 - (-1) \\ 2 - 3 \\ 3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

* 次に、直線 $l$ のパラメータ表示を求めます。点 B(0, 2, 3) を通るとして、

$\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ 2 - t \\ 3 + 2t \end{pmatrix}$

ここで、$t$ は実数です。

* 点 H は直線 $l$ 上にあるので、$\vec{OH} = \begin{pmatrix} t \\ 2 - t \\ 3 + 2t \end{pmatrix}$ と表せます。

* $\vec{OH}$ と $\vec{d}$ は垂直なので、内積が 0 になります。

$\vec{OH} \cdot \vec{d} = 0$

$\begin{pmatrix} t \\ 2 - t \\ 3 + 2t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = 0$

$t - (2 - t) + 2(3 + 2t) = 0$

$t - 2 + t + 6 + 4t = 0$

$6t + 4 = 0$

$t = -\frac{2}{3}$

* 求めた $t$ の値を $\vec{OH}$ に代入して、点 H の座標を求めます。

$\vec{OH} = \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ 2 - (-\frac{2}{3}) \\ 3 + 2(-\frac{2}{3}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ \frac{8}{3} \\ \frac{5}{3} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

H($-\frac{2}{3}, \frac{8}{3}, \frac{5}{3}$)