2点A(-1, 3, 1)とB(0, 2, 3)を通る直線lに、原点Oから垂線OHを下ろすとき、点Hの座標を求める問題です。

1. 問題の内容

2点A(-1, 3, 1)とB(0, 2, 3)を通る直線lに、原点Oから垂線OHを下ろすとき、点Hの座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、直線lの方向ベクトル$\vec{d}$を求めます。

$\vec{d} = \vec{OB} - \vec{OA} = (0 - (-1), 2 - 3, 3 - 1) = (1, -1, 2)$

次に、直線l上の点をパラメータtを用いて表します。

$\vec{OH} = \vec{OA} + t\vec{d} = (-1, 3, 1) + t(1, -1, 2) = (-1+t, 3-t, 1+2t)$

したがって、点Hの座標は$H(-1+t, 3-t, 1+2t)$となります。

OHが直線lに垂直なので、$\vec{OH}$と$\vec{d}$の内積は0になります。

$\vec{OH} \cdot \vec{d} = 0$

$(-1+t, 3-t, 1+2t) \cdot (1, -1, 2) = 0$

$(-1+t) - (3-t) + 2(1+2t) = 0$

$-1+t - 3 + t + 2 + 4t = 0$

$6t - 2 = 0$

$6t = 2$

$t = \frac{1}{3}$

よって、Hの座標は

$(-1 + \frac{1}{3}, 3 - \frac{1}{3}, 1 + 2 \cdot \frac{1}{3}) = (-\frac{2}{3}, \frac{8}{3}, \frac{5}{3})$

3. 最終的な答え

H($-\frac{2}{3}$, $\frac{8}{3}$, $\frac{5}{3}$)