$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $2:3$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $3:1$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とし、$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$ とする。$OP$ の延長と $AB$ の交点を $Q$ とするとき、以下の比を求める問題である。 (i) $AQ:QB$ (ii) $OP:PQ$

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $2:3$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $3:1$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とし、$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$ とする。$OP$ の延長と $AB$ の交点を $Q$ とするとき、以下の比を求める問題である。

(i) $AQ:QB$

(ii) $OP:PQ$

2. 解き方の手順

(i) $AQ:QB$ を求める。

まず、点 $P$ は線分 $AD$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD} = (1-s)\vec{a} + s\frac{3}{4}\vec{b}$

と表せる。また、点 $P$ は線分 $BC$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$\vec{OP} = t\vec{OC} + (1-t)\vec{OB} = t\frac{2}{5}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

と表せる。$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、係数を比較して

$1-s = \frac{2}{5}t$ かつ $\frac{3}{4}s = 1-t$

この連立方程式を解くと、

$1-s = \frac{2}{5}(1-\frac{3}{4}s)$

$1-s = \frac{2}{5} - \frac{3}{10}s$

$\frac{7}{10}s = \frac{3}{5}$

$s = \frac{6}{7}$

$t = 1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{6}{7} = 1 - \frac{9}{14} = \frac{5}{14}$

したがって、

$\vec{OP} = (1-\frac{6}{7})\vec{a} + \frac{6}{7} \cdot \frac{3}{4}\vec{b} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{9}{14}\vec{b}$

$\vec{OP} = \frac{5}{14} \cdot \frac{2}{5}\vec{a} + (1-\frac{5}{14})\vec{b} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{9}{14}\vec{b}$

次に、$Q$ は $OP$ の延長上にあるので、実数 $k$ を用いて $\vec{OQ} = k\vec{OP}$ と表せる。

$\vec{OQ} = k(\frac{1}{7}\vec{a} + \frac{9}{14}\vec{b}) = \frac{k}{7}\vec{a} + \frac{9k}{14}\vec{b}$

また、$Q$ は線分 $AB$ 上にあるので、実数 $u$ を用いて $\vec{OQ} = (1-u)\vec{OA} + u\vec{OB}$ と表せる。

$\vec{OQ} = (1-u)\vec{a} + u\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、係数を比較して

$\frac{k}{7} = 1-u$ かつ $\frac{9k}{14} = u$

$\frac{k}{7} + \frac{9k}{14} = 1$

$\frac{2k+9k}{14} = 1$

$\frac{11k}{14} = 1$

$k = \frac{14}{11}$

$u = \frac{9}{14} \cdot \frac{14}{11} = \frac{9}{11}$

よって、$\vec{OQ} = (1-\frac{9}{11})\vec{a} + \frac{9}{11}\vec{b} = \frac{2}{11}\vec{a} + \frac{9}{11}\vec{b}$

したがって、$AQ:QB = u:(1-u) = \frac{9}{11}:\frac{2}{11} = 9:2$

(ii) $OP:PQ$ を求める。

$\vec{OP} = \frac{1}{k}\vec{OQ}$ なので、$\vec{OQ} = \frac{14}{11}\vec{OP}$

$\vec{OQ} = \vec{OP} + \vec{PQ}$ より、$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \frac{14}{11}\vec{OP} - \vec{OP} = \frac{3}{11}\vec{OP}$

したがって、$OP:PQ = 1:\frac{3}{11} = 11:3$

3. 最終的な答え

(i) $AQ:QB = 9:2$

(ii) $OP:PQ = 11:3$