問題92：白球5個と赤球4個が入っている袋から、同時に3個の球を取り出す。 (1) 3個とも白球である確率を求めよ。 (2) 2個が白球、1個が赤球である確率を求めよ。

1. 問題の内容

問題92：白球5個と赤球4個が入っている袋から、同時に3個の球を取り出す。

(1) 3個とも白球である確率を求めよ。

(2) 2個が白球、1個が赤球である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、袋から3個の球を取り出す全ての場合の数を計算します。これは9個の球から3個を選ぶ組み合わせなので、 $_9C_3$ です。

$_9C_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

次に、3個とも白球である場合の数を計算します。これは5個の白球から3個を選ぶ組み合わせなので、 $_5C_3$ です。

$_5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、3個とも白球である確率は、

$\frac{_5C_3}{_9C_3} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42}$

(2)

2個が白球で1個が赤球である場合の数を計算します。

まず、5個の白球から2個を選ぶ組み合わせは、 $_5C_2$ です。

$_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

次に、4個の赤球から1個を選ぶ組み合わせは、 $_4C_1$ です。

$_4C_1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = 4$

したがって、2個が白球で1個が赤球である場合の数は、$_5C_2 \times _4C_1 = 10 \times 4 = 40$ です。

したがって、2個が白球、1個が赤球である確率は、

$\frac{_5C_2 \times _4C_1}{_9C_3} = \frac{40}{84} = \frac{10}{21}$

3. 最終的な答え

(1) 3個とも白球である確率は、$\frac{5}{42}$

(2) 2個が白球、1個が赤球である確率は、$\frac{10}{21}$